2.3.1双曲线的标准方程[基础达标]1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值是________．解析：焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是－＝1，k<0，则＝3，解得k＝－1.答案：－12．过双曲线－＝1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．解析：据题意AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，故AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝(AF2＋BF2)－AB＝4a，因此AF2＋BF2＝AB＋4a＝6＋16＝22，故三角形周长为22＋6＝28.答案：283.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左，右焦点，且过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，得B(2,0)，C(2,3)．∴，解得，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案：x2－＝14．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1∶PF2＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．解析：双曲线的a＝1，b＝2，c＝.设PF1＝3r，PF2＝2r. PF1－PF2＝2a＝2，∴r＝2.于是PF1＝6，PF2＝4. PF＋PF＝52＝F1F，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2＝90°.∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×6×4＝12.答案：125．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝PF＋PF，又因为PF1－PF2＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.答案：26．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知PF＝2a＋PF1＝4＋PF1，∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA.∴当PF＋PA最小时需满足PF1＋PA最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1＋PA最小，易求得最小值为AF1＝5，故所求最小值为9.答案：97．在△ABC中，已知AB＝4，且2sinA＋sinC＝2sinB，求顶点C的轨迹方程．解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝(a′，b′，c′分别为A，B，C所对的边)， 2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a′＋c′＝2b′，即b′－a′＝，从而有CA－CB＝AB＝2
)．18．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解：在△PF1F2中，F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos60°，即25＝PF＋PF－PF1·PF2，由椭圆的定义得10＝PF1＋PF2，即100＝PF＋PF＋2PF1·PF2，所以PF1·PF2＝25，所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin60°＝.[能力提升]1．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值是________．解析：PF1＋PF2＝2，|PF1－PF2|＝2a，所以PF＋PF＋2PF1·PF2＝4m，PF－2PF1·PF2＋PF＝4a2，两式相减得：4PF1·PF2＝4m－4a2，∴PF1·PF2＝m－a2.答案：m－a22．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小(O为坐标原点)为________．解析：连结ON(图略)，ON是三角形PF1F2的中位线，所以ON＝PF2，因为|PF1－PF2|＝8，PF1＝10，所以PF2＝2或18，所以ON＝PF2＝1或9.答案：1或93．已知在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程．解：由Rt△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k,3k＋4k＋5k＝48，得k＝4，则PN＝12，PM＝16，MN＝20.以MN所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由PM－PN＝4＝2a，得a＝2，a2＝4，由MN＝20得2c＝20，c＝10，则b2＝c2－a2＝96，所以所求双曲线方程为－＝1.4．在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100km，PB＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送...
