四川省成都经济技术开发区实验中学高中数学选修1-1：第二章2.12.1.1椭圆及其标准方程课时达标检测一、选择题1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：选D根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：选C由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件阿解析：选B利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件．4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a>3B．a<－2C．a>3或a<－2D．a>3或－6
a＋6>0得所以所以a>3或－6b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝1三、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．解：由点在椭圆上，得＋＝1，又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.由(1)知c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，所以由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|.所以122＝202－3|PF1||PF2|.所以|PF1|·|PF2|＝＝＝.S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin＝××＝.所以△F1PF2的面积为.2
