考点规范练45抛物线考点规范练A册第34页基础巩固组1.(2015陕西,文3)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案:B解析:由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-B.-C.D.答案:B解析:抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,得y0=-.3.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x导学号〚32470525〛答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则两式相减可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2,即可得p=1,故抛物线C的方程为y2=2x.4.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.答案:D解析:由已知得F,故直线AB的方程为y=tan30°,即y=x-.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立并整理得x2-x+=0,∴x1+x2=,∴|AB|=x1+x2+p==12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d=.∴S△OAB=|AB|d=×12×.5.已知等边△ABF的顶点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上,且AB⊥l,则顶点A()A.在C内部B.在C上C.在C外部D.与p值有关导学号〚32470526〛答案:B解析:设B,由题意得AB中点的横坐标为,则A,∴等边△ABF的边长是2p,则|AF|==2p,∴p2+m2=4p2,∴m=±p.∴A,∴顶点A在抛物线上,故选B.6.(2015辽宁葫芦岛二模)若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则a+b的最大值为()A.B.1C.D.2答案:A解析:抛物线C1:y2=4x的焦点为(1,0),即有双曲线的右焦点为(1,0),即c=1,a2+b2=1,令a=cosα,b=sinα,则a+b=cosα+sinα=sin.当α+时,sin取得最大值1,即有a+b取得最大值.7.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽m.答案:2解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.∴x2=-2y.当水面下降1m,得D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入x2=-2y,得=6,∴x0=.∴水面宽|CD|=2m.8.已知抛物线x2=2py(p为常数,p≠0)上不同两点A,B的横坐标恰好是关于x的方程x2+6x+4q=0(q为常数)的两个根,则直线AB的方程为.答案:3x+py+2q=0解析:由题意知,直线AB与x轴不垂直.设直线AB的方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得x2-2pkx-2pm=0,此方程与x2+6x+4q=0同解,则解得故直线AB的方程为y=-x-,即3x+py+2q=0.9.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),求△ABF的面积.解:由M(2,2)知,线段AB所在的直线的斜率存在,设过点M的直线方程为y-2=k(x-2)(k≠0).由消去y,得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由题意知=2,则=4,解得k=1,于是直线方程为y=x,x1x2=0.因为|AB|=|x1-x2|=4,又焦点F(1,0)到直线y=x的距离d=,所以△ABF的面积是×4=2.10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,则点P(x,y)满足-x=1(x>0),化简得y2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,于是因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③因为x=,所以不等式③可变形为+y1y2-+1<0,即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-20)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案:C解析:设M(x0,y...
