高考数学大一轮复习 升级增分训练 最值、范围、存在性问题 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

升级增分训练最值、范围、存在性问题1．(2016·贵阳监测考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－．(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有解得a＝，c＝，∴b2＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1．(2)由已知可得，直线l的方程为y＝kx＋2，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，则Δ＝12k2－12＞0，x1＋x2＝，x1x2＝．∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，|AB|＝·＝·＝，∴解得k4≥13，即k≥或k≤－．故所求斜率的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．2．(2016·西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴－b＝－2，解得b＝2．又＝，a2＝b2＋c2，∴a＝4，c＝2．可得椭圆C的标准方程为＋＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，直线PA的方程为：y－＝k(x－2)，联立消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝．同理可得：x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，kAB＝＝＝．∴直线AB的斜率为定值．3．(2016·贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，－)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求AG·HB的最小值．解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则由题意得c＝，2a＝＋＝4，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1．∴右顶点F的坐标为(1,0)．设抛物线E的标准方程为y2＝2px(p＞0)，∴＝1,2p＝4，∴抛物线E的标准方程为y2＝4x．(2)设l1的方程：y＝k(x－1)，l2的方程：y＝－(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)．由消去y得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴Δ＝4k4＋16k2＋16－4k4＞0，x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．同理x3＋x4＝4k2＋2，x3x4＝1，∴AG·HB＝(AF＋FG)·(HF＋FB)＝AF·HF＋AF·FB＋FG·HF＋FG·FB＝|AF|·|FB|＋|FG|·|HF|＝|x1＋1|·|x2＋1|＋|x3＋1|·|x4＋1|＝(x1x2＋x1＋x2＋1)＋(x3x4＋x3＋x4＋1)＝8＋＋4k2≥8＋2＝16，当且仅当＝4k2，即k＝±1时，AG·HB有最小值16．4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA2＋EA·AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝，得＝，即c＝a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1．(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝．根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得EA2＋EA·AB＝(EA＋AB)·EA＝EA·EB―→为定值，则EA·EB―→＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，要使上式为定值，即与k无关，只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，此时，EA2＋EA·AB＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E使得EA2＋EA·AB为定值，且定值为－．