11.4.1直线与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为()A.4B.3C.2D.1解析因为PA⊥平面ABCBC⊂平面ABC}⇒PA⊥BCAC⊥BCPA⋂AC=A}⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故选A.答案A2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.❑√5B.2❑√5C.3❑√5D.4❑√5解析由题PB=PC=❑√82+52=❑√89,则P到BC的距离d=❑√PB2-(12BC)2,即pd=❑√89-9=4❑√5.答案D3.下列命题中,正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面.⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个解析②③④⑤正确,①中当这两条直线平行时,可能直线平行平面或在平面内.答案C4.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是()A.(0°,90°)B.[0°,90°]C.(0°,90°]D.[0°,180°]解析由线面角的定义知B正确.答案B5.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA1垂直.答案B6.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.答案B7.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°解析 BD∥B1D1,A正确; AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥面ACC1,得BD⊥AC1,知B正确;由AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1.又B1C⊥BC1,B1C⊥AB,得B1C⊥平面ABC,∴B1C⊥AC1,得AC⊥平面CB1D1,故C正确;D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°.故选ABC.答案ABC8.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为.解析取AC中点E,连BE,DE.由AB=BC,得AC⊥BE.同理AC⊥DE,所以AC⊥面BED.因此,AC⊥BD.答案垂直9.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是.解析由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案菱形10.如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成的角为.(2)则MN与AD所成的角为.解析(1)由图易知MN∥AD1, △ACD1构成正三角形.∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN与AD成45°角.答案(1)60°(2)45°11.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为.解析如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4.答案412.如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD,点E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明取AB的中点F,连接CF,DF. CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB. CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF. CD⊂平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE. AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH. AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.能力提升1.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF,则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析由CD∥AF得CD∥平面PAF,A正确;由DF⊥AF,DF⊥PA得B正确;由CF∥AB得C正确; CF与AD不垂直,∴CF与平面PAD不垂直,得D不正确.答案D2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等解析由AC⊥平面DBB1D1,BE⊂平面DBB1D1知A正确;由EF⊂平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正确;由△BEF面积S=12×1×12=14.VA-BEF=13×❑√22×14=❑√224知C正确,D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不...
