第四节直接证明与间接证明A组基础题组1.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为()A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数答案D对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证❑√b2-ac<❑√3a”,则索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-c)(a-b)>0D.(a-b)(a-c)<0答案C❑√b2-ac<❑√3a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)·(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.3.若P=❑√a+6+❑√a+7,Q=❑√a+8+❑√a+5(a≥0),则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P
Q,要证P>Q,只需证P2>Q2,只需证:2a+13+2❑√(a+6)(a+7)>2a+13+2❑√(a+8)(a+5),只需证a2+13a+42>a2+13a+40,即证42>40,42>40显然成立,所以P>Q成立.4.已知函数f(x)=(12)x,a,b是正实数,A=f(a+b2),B=f(❑√ab),C=f(2aba+b),则A,B,C的大小关系为()A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A答案A因为a+b2≥❑√ab≥2aba+b,又f(x)=(12)x在R上是减函数,所以f(a+b2)≤f(❑√ab)≤f(2aba+b).5.设x,y,z>0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2答案C假设三个数都小于2,则yx+yz+zx+zy+xz+xy<6,由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=(yx+xy)+(zx+xz)+(yz+zy)≥2+2+2=6.所以假设不成立,所以yx+yz,zx+zy,xz+xy中至少有一个不小于2.故选C.6.设a>b>0,m=❑√a-❑√b,n=❑√a-b,则m,n的大小关系是.答案m❑√a,即a0,显然成立,故mcn+1解析由题意知,an=❑√n2+1,bn=n,∴cn=❑√n2+1-n=1❑√n2+1+n.显然,cn随着n的增大而减小,∴cn>cn+1.8.关于x的方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有实根,则实数a的取值范围是.答案(12,1)解析当a=0时,方程无解;当a≠0时,令f(x)=ax+a-1,则f(x)在区间(0,1)上是单调函数,依题意得f(0)·f(1)<0,所以(a-1)(2a-1)<0,所以121,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.解析(1)由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当n=1时也适合.所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且m>n,所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.B组提升题组1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,则f(x1)0,则实数p的取值范围是.答案(-3,32)解析由题意可得只需f(-1)>0或f(1)>0即可,由f(1)>0,得2p2+3p-9<0,即-30,得2p2-p-1<0,即-12
