第一章导数及其应1．函数f(x)＝exlnx在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2e(x－1)B．y＝ex－1C．y＝e(x－1)D．y＝x－e解析：选C.因为f′(x)＝ex(lnx＋)，所以f′(1)＝e.又f(1)＝0，所以所求的切线方程为y＝e(x－1)．2．已知(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为()A．－B．－C．－1D．－2解析：选B.根据题意有(x2＋mx)dx＝|＝＋m＝0，解得m＝－，故选B.3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A.因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.经检验知x＝3是函数f(x)的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.4．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)0.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1.因为f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0恒成立，即Δ＝(2a)2－4×3≤0，解得－≤a≤.答案：[－，]6．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋lnx，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为________．解析：f′(x)＝3ax2＋，所以f′(1)＝3a＋≥－12，即a＋≥－4.又a<0，有a＋≤－4，所以a＋＝－4，故a＝－2.答案：－27．已知函数f(x)＝x2ex－1－x3－x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．1解：(1)f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，由f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.当－2＜x＜0或x＞1时，f′(x)＞0；当x＜－2或0＜x＜1时，f′(x)＜0.所以函数f(x)在(－2，0)和(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的．(2)f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)．因为对任意实数x总有x2≥0，所以设h(x)＝ex－1－x.h′(x)＝ex－1－1，由h′(x)＝0，得x＝1，则当x＜1时，h′(x)＜0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递减，因此当x＜1时，h(x)＞h(1)＝0.当x＞1时，h′(x)＞0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0.当x＝1时，h(1)＝0.所以对任意实数x都有h(x)≥0，即f(x)－g(x)≥0，故对任意实数x，恒有f(x)≥g(x)．2
