3.2.2抛物线的简单性质[基础达标]过点(－1，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.点(－1，0)在抛物线y2＝x的外部，过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条．其中两条切线，一条相交直线(平行x轴)．过抛物线y＝x2上的点M(，)的切线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.由题意可设切线方程为y－＝k(x－)，代入y＝x2，化简得4x2－4kx＋2k－1＝0，由Δ＝16k2－16(2k－1)＝0，得k＝1，∴切线的倾斜角为45°.抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于()A.B．C.D．1解析：选B.由消去y整理得ax2－x＋1＝0，由题意a≠0，Δ＝(－1)2－4a＝0.∴a＝.抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标是()A．(，)B．(1，1)C．(，)D．(2，4)解析：选B.令y＝x2的切线方程为2x－y＋c＝0，代入y＝x2整理得x2－2x－c＝0.由Δ＝(－2)2＋4c＝0，∴c＝－1，∴x＝1，y＝1.切点(1，1)到直线2x－y－4＝0的距离最小．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B．C.D．解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，① |FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：设切线为4x＋3y＋C＝0，代入y＝－x2整理得3x2－4x－C＝0，由Δ＝(－4)2＋12C＝0得，C＝－，故最小距离为＝.答案：设已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________．解析：由题意知C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，两式作差，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，kAB＝＝＝1，又直线l过(2，2)，故l的方程为y＝x.答案：y＝x将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则n＝________．解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点与x轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．1答案：2已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y＝x＋所得的弦长|P1P2|＝4，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2＋(3＋2p)x＋＝0①，判别式Δ＝(3＋2p)2－9＝4p2＋12p>0，解得p>0或p<－3(舍)，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则①中由根与系数的关系得x1＋x2＝－(3＋2p)，x1·x2＝，代入弦长公式得·＝4，解得p＝1或p＝－4(舍)，把p＝1代入抛物线方程y2＝－2px(p>0)中，得y2＝－2x.综上，所求抛物线方程为y2＝－2x.A、B为抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为原点，若OA⊥OB，求证：直线AB过定点．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， OA⊥OB⇒x1x2＋y1y2＝0，A，B在抛物线上⇒yy＝4p2x1x2，∴，lAB：y－y1＝(x－x1)，∴y－y1＝(x－)，∴y＝·x－＋y1＝·x－＝(x－2p)，∴直线AB过定点(2p，0)．[能力提升]已知抛物线y2＝2px(p>0)与圆(x－a)2＋y2＝r2(a>0)有且只有一个公共点，则()A．r＝a＝pB．r＝a≤pC．r
0)与抛物线y2＝2px(p>0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当r>a时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当r＝a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x－a)2＋2px＝r2(x≥0)有且仅有一个解x＝0，可得a≤p.故选B.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析：设C(x，x2)，由题意可取A(－，a)，B(，a)，则CA＝(－－x，a－x2)，CB＝(－x，a－x2)，由于∠ACB＝，所以CA·CB＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0，整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，所以解得a≥1.答案：[1，＋∞)已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点，当直线l的斜率...
