函数的单调性【知识提要】一、单调性定义：已知函数，若对于，当时，都有（或），则称在区间D上是增（或减）函数，区间D称为函数的单调区间注意：（1）具有任意性；(2)区间D是函数定义域的子区间，一个函数在定义域上可能不单调，但可能有单调区间，在研究函数的单调性时必须考虑该函数的定义域，即函数在单调区间内有意义；(3)要慎用并集符号表示某一函数的单调区间；例一、1．已知函数在区间上单调递减，求的取值范围；2．函数的单调递减区间为和，不能写成；3．函数的单调递增区间为二、函数单调性的证明：（1）差比法（有两种表现形式）：①可分解成最简因式的积：分别判断每个因式的符号即可；②不能分解成最简因式的积：即“+”（>0）的形式，分别判断、的符号即可；（2）利用不等式的性质直接证明的大小关系（3）证明其反函数的单调性：互为反函数的单调性相同例二、1．已知，求证：（1）在定义域上为增函数；（2）方程=0有唯一解。2．已知函数（1）求证：函数在定义域上是减函数；（2）解不等式：3．已知函数（1）求证：为奇函数；（2）求证：函数在定义域上是增函数，并求函数的值域；（3）解不等式：4．已知函数对任意实数满足且时（1）求证：为奇函数；（2）求证：为R上的增函数；（3）若，解不等式；（4）若，且，求注：函数单调性的证明与判断是完全不同的两回事，证明必须要严格按照定义进行，而判断则大可不必，只要说清楚即可，可以利用常规函数的单调性直接加以判断，也可以利用复合函数的方法加以判断，当然也可以利用图像法、观察法（若函数且，同增（或同减），则函数为增函数（或减函数））等加以判断三、函数单调性与函数其它性质的关系：（1）与最大值、最小值的关系：利用函数单调性求极值；（2）与奇偶性的关系：奇函数在对称区间内的单调性相同，偶函数在对称区间内的单调性相反；（3）与反函数的关系：互为反函数的两个函数的单调性相同，单调函数必有反函数，有反函用心爱心专心1数的函数不一定是单调函数；（4）直线与单调函数至多有一个公共点，反之，直线与函数至多有一个公共点，则函数不一定是单调函数，但可能有反函数；（5）周期函数的单调区间必有周期性；（6）关于直线对称的两区间与的单调性相反例三、1．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是_____________且_____________2．已知=，若，且，则下列结论中一定成立的是（）（A）；（B）；（C）；（D）3．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为________________4．如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，那么在区间上是（）（A）增函数且最大值为-5；（B）增函数且最小值为-5；（C）减函数且最小值为-5；（D）减函数且最大值为-55．已知偶函数满足且，若在上单调递增，则=0在内有________________个根四、几个重要函数的单调性：（1）二次函数：二次函数单调性的判断要把握住两点①开口方向；②对称轴与区间的位置关系。一句话：以不变应万变，不变的是区间，变的是对称轴（2）“对钩”函数：①当时，单调递减区间为：和；单调递增区间为：和注：（1）单调区间的分界点是由基本不等式确定的；（2）在内的单调区间是由函数的对称性确定的②当时，单调递增区间为和（3）简单的分式函数：对称中心为；单调区间为和（4）复合函数：令，则可根据“增增为增、减减为增、增减为减”来加以判断例四、1．求下列函数的最大值与最小值（1）（2）（3）2．已知函数（1）当时，求函数的最值；（2）当时，求函数的最值3．已知关于的方程（1）证明方程有一常数根（不含；用心爱心专心2（2）当时，方程的另一根为，求的最小值4．已知函数，当函数取得最小值时，求函数的单调递增区间【课后练习】1．已知的图象在上递增，则实数的取值范围()(A)；（B）；（C）；（D）2．已知函数是定义域为的奇函数，又在上为增函数且，则>0的解集为（）（A）；（B）（C）；（D）3．若四面体的一条棱长为，其余棱长都是,记体积v=,则在其定义域（）（A）是增函数无最大值；（B）是增函数有最大值；（C）不是增函数无最大值；（C）不是增函数有最大值4．已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，若，则的取值范围是（...
