第7讲抛物线[基础达标]1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.2．已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是()A．x2＝2yB．x2＝yC．x2＝yD．x2＝y解析：选A.由题意得，F，不妨设A，B(－p，－)，所以S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A.3．(2019·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置()A．在C开口内B．在C上C．在C开口外D．与p值有关解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得点A在抛物线C上，故选B.4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2解析：选C.根据抛物线的定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，所以|FP1|＋|FP3|＝＋＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2＝2|FP2|.5.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的1部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8解析：选C.F(1，0)，直线AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝.由于点A在x轴上方且直线的斜率为，所以其坐标为(3，2)．因为|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为，即倾斜角为60°，所以∠KAF＝60°，所以△AKF为等边三角形，所以△AKF的面积为×42＝4.6．(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线Г交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若＝m，则cosα的值为()A．B．C．D．解析：选A.设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－.如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N.在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α，由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|，根据抛物线的定义得：|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|，所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，在直角三角形ABC中，cosα＝cos∠BAC＝＝＝，故选A.27．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为________．解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方程可得yM＝±p，则直线MF的斜率为＝＝±.答案：±8．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，○·M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与○·M相切，那么p的值为________．解析：将○·M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－，所以＝2，p＝12或4.答案：12或49．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝＝＝，当且仅当x0＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1.答案：－110．(2019·浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y2＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2，所以抛物线标准方程为y2＝4x，焦点坐标为F(1，0)．(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x0＋1＝2x，0＋y0＝2y，所以x0＝2x－1，y0＝2y，因为P是抛物线上一动点，所以y＝4x0，所以(2y)2＝4(2x－1)，化简得y2＝2x－1.所以M的轨迹方程为y2＝2x－1.1...
