第31讲平面向量的概念及线性运算1．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于(D)A.OMB．2OMC．3OMD．4OMOA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.2．(2019·浙江模拟)设D，E，F分别为△PQR的三边QR，RP，PQ的中点，则EQ＋FR＝(B)A.QRB.PDC.QRD.PD因为D，E，F分别为△PQR的三边QR，RP，PQ的中点，所以EQ＋FR＝PQ－PE＋PR－PF＝PQ－PR＋PR－PQ＝(PR＋PQ)＝PD.3．(2018·石家庄一模)△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a,CA＝b，则CD＝(B)A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b因为AB＝CB－CA＝a－b.因为BD＝DA，所以AD＝AB＝a－b，所以CD＝CA＋AD＝b＋a－b＝a＋b.4．(2016·江西师大附中模拟)已知A，B，C三点不在同一直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若OP－OA＝λ(AC＋CB)，λ∈[0，＋∞)，则直线AP一定经过△ABC的(A)A．重心B．垂心C．外心D．内心设D是BC的中点，则CD＝CB，所以OP－OA＝λ(AC＋CB)，即AP＝λAD，故A，D，P三点共线，所以直线AP一定过△ABC的重心．5．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝(b－a).(用a，b表示)在▱ABCD中，因为M为BC边的中点，所以MC＝BC＝b，因为AC＝AB＋BC＝a＋b，所以CN＝CA＝－AC＝－(a＋b)．所以MN＝MC＋CN＝b－(a＋b)＝(b－a)．6．已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a、b、t(a＋b)三向量的终点在一条直线上，则实数t＝.因为a、b、t(a＋b)的终点在一条直线上，所以t(a＋b)－a＝λ(a－b)，即(t－λ－1)a＋(t＋λ)b＝0，又因为a、b不共线，故解得t＝.7．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c、d表示AB和AD.设AB＝a，AD＝b，M、N分别为DC、BC的中点，则有DM＝a，BN＝b，在△ABN和△ADM中可得：解得所以AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．8．记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(D)A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系同夹角的大小有关系，故A，B错．当a，b的夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b的夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2.故选D.9．(2017·赣州模拟)在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，若△ABC的面积为12cm2，则△PBC的面积为8cm2.因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝AP＋PB，所以PC＝2AP，所以点P是CA的三等分点，所以＝＝.因为S△ABC＝12cm2，所以S△PBC＝×12＝8cm2.10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，设AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示AD，AG；(2)求证：GA＋GB＋GC＝0.(1)AD＝(a＋b)，AG＝AD＝(a＋b)，(2)证明：由(1)知GA＝－(a＋b)，设BC＝c，同理可得：GB＝－(－a＋c)，GC＝－(－b－c)，所以GA＋GB＋GC＝－(a＋b－a＋c－b－c)＝0.
