空间向量与立体几何模块检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题“若a＞－1，则a＞－2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是______．答案2解析原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若a＞－2，则a＞－1”为假命题，故否命题为假命题．故4个命题中有2个真命题．2．已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则命题綈p为______．答案∀x∈R，sinx＞1解析存在性命题的否定为全称命题，同时注意否定结论：sinx≤1的否定为sinx＞1.3．命题“a＞1是a＞的充要条件”是______(填“真”或“假”)命题．答案真解析因为a＞1，所以＞1,所以·＞，即a＞.所以a＞1⇒a＞；因为a＞，所以(－1)＞0，所以＞1，即a＞1.所以a＞⇒a＞1.综上可知a＞1⇔a＞，所以a＞1是a＞的充要条件．4．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．答案②解析命题①：“若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线”的逆命题是“若四点中任三个点都不共线，则这四点不共面”，是假命题．命题②：“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，是真命题．5．已知|a|＝|b|＝5，a，b的夹角为，则|a＋b|与|a－b|的值分别等于______．答案5，5解析|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝52＋2×5×5×＋52＝75，|a＋b|＝5，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝52－2×5×5×＋52＝25，|a－b|＝5.6．若直线l的方向向量为a＝(－1,1,2)，平面α的法向量为u＝(2，－2，－4)，则直线与平面的位置关系是______．答案l⊥α解析由已知得a＝－u，即向量a和u共线，∴直线l与平面α垂直．7．以双曲线－y2＝1的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是____________．答案y2＝6x或y2＝－6x解析因为a＝，b＝1，所以c＝2，所以双曲线的准线方程为x＝±，所以＝，得p＝3，所以抛物线方程是y2＝6x或y2＝－6x.8．焦点在y轴上，虚半轴长为4，焦距的一半为6的双曲线的标准方程为____________．答案－＝1解析双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．已知b＝4，c＝6，则a2＝c2－b2＝62－42＝20.故所求双曲线的标准方程为－＝1.9．对于实数x，y，命题p：x＋y≠8是命题q：x≠2或y≠6的______条件．答案充分不必要解析利用命题的等价性，因为命题“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”是真命题，故綈q⇒綈p，即p⇒q；命题“若x＋y＝8，则x＝2且y＝6”是假命题，故綈p綈q，即qp，所以p是q的1充分不必要条件．10．已知t∈R，a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是______．答案解析因为a－b＝(－1－t,1－2t,0)，所以|a－b|＝＝＝，当t＝时，|b－a|取到最小值.11．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．答案0或－8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点P(x0，y0)，则则②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3， M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0，又 y0＝x0＋m，∴P，代入抛物线方程得m2＝18·.解得m＝0或－8，经检验都符合．12．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点______．答案(2,0)解析抛物线y2＝8x，p＝4，其准线方程为x＝－2，焦点为F(2,0)，设动圆圆心为P，由已知点P到准线x＋2＝0的距离为其半径r，且点P在抛物线上，∴点P到焦点F的距离也为r，∴动圆必过定点F(2,0)．13．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．答案解析设AB＝1，则AA1＝2，分别以D1A1、D1C1、D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1，－2)，DC＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即取n＝(－2,2,1)，设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||＝.14．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为...
