3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标课后篇巩固探究1.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是AB的中点,则C点的坐标为()A.(3,-2,2)B.(3,2,1)C.(52,-72,32)D.(27,-12,52)解析设C(x,y,z),则x=4+22=3,y=1-52=-2,z=3+12=2,即C(3,-2,2).答案A2.在空间直角坐标系中,已知点P(1,❑√2,❑√5),过点P作yOz平面的垂线PQ,则垂足Q的坐标是()A.(0,❑√2,0)B.(0,❑√2,❑√5)C.(1,0,❑√5)D.(1,❑√2,0)解析根据空间直角坐标系的概念知yOz平面上的点Q的x坐标为0,y坐标、z坐标分别等于点P的y坐标❑√2,z坐标❑√5,所以垂足Q的坐标为(0,❑√2,❑√5).答案B3.已知点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴的对称点为A'(λ,7,-6),则λ,μ,v的值分别为()A.λ=-2,μ=-4,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=7解析两个点关于x轴对称,那么这两个点的x坐标不变,y坐标与z坐标均互为相反数,故有λ=2,7=-(3-μ),-6=-(-1+v),即λ=2,μ=10,v=7.答案D4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,|OA|=3,|OC|=4,|OD1|=3,BC1与B1C相交于点P,则点P的坐标是()A.(4,32,32)B.(32,32,4)C.(3,4,3)D.(32,4,32)解析过点P作BC的垂线交BC于M点,则M点是BC的中点,|PM|=32,|MC|=32,所以P(32,4,32).答案D5.长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,且AB=3,AD=2,AA1=1,则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是()A.(0,-2,-1)B.(x,-2,z)C.(-3,-2,-1)D.(-3,y,z)解析DD1C1C所在的平面平行于平面xOz,且与平面xOz的距离为2,平面DD1C1C上任意一点的y轴坐标都是-2,而x轴和z轴坐标可取任意实数.答案B6.导学号91134069已知空间直角坐标系中有一点M(x,y,z)满足x>y>z,且x+y+z=0,则点M的位置是()A.一定在xOy平面上B.一定在yOz平面上C.一定在xOz平面上D.可能在xOz平面上解析因为x>y>z,且x+y+z=0,所以x>0,z<0,y有可能为0,所以点M可能在xOz平面上.答案D7.已知正四棱柱OABC-A1B1C1D1,若A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,5),则顶点C1的坐标为.解析由已知得正四棱柱的底面边长为2,高为5,所以顶点C1的坐标为(2,2,5).答案(2,2,5)8.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,M是OB1与BO1的交点,则M点的坐标是.解析∵|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,∴A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,3,0),故B1(2,3,2).∴M的坐标为(1,32,1).答案(1,32,1)9.如图是从一个正方体中截下的一个三棱锥P-ABC,|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c,则△ABC的重心G的坐标为.解析△ABC的重心G在xOy平面上的射影G'是△PAB的重心,其坐标为(a3,b3,0),而|G'G|=13|PC|,所以重心G的竖坐标为c3,所以点G的坐标为(a3,b3,c3).答案(a3,b3,c3)10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,|PD|=2b,顺次连接各侧棱的中点E,F,G,H,建立如图所示的空间直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.解因为E,F,G,H分别为侧棱的中点,所以由立体几何知识可知平面EFGH与底面ABCD平行,从而可知这4个点的竖坐标都为点P的竖坐标的一半,也就是b.由H为DP的中点得H(0,0,b).因为E在底面上的射影为AD的中点,所以点E的横坐标和纵坐标分别为a和0.所以E(a,0,b).同理G(0,a,b).因为F在坐标平面xOz和yOz上的射影分别为E和G,所以F的横坐标与E的横坐标相同,是a,F的纵坐标与G的纵坐标相同,为a.又F的竖坐标为b,所以F(a,a,b).11.如图,AF,DE分别是圆O、圆O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,|AD|=8,BC是☉O的直径,|AB|=|AC|=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.解因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD,所以OE⊥平面ABC.又AF⫋平面ABC,BC⫋平面ABC,所以OE⊥AF,OE⊥BC.又BC是圆O的直径,所以OB=OC.又|AB|=|AC|=6,所以OA⊥BC,|BC|=6❑√2.所以|OA|=|OB|=|OC|=|OF|=3❑√2.如图所示,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,所以A(0,-3❑√2,0),B(3❑√2,0,0),C(-3❑√2,0,0),D(0,-3❑√2,8),E(0,0,8),F(0,3❑√2,0).12.导学号91134070如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=14CD,H为C1G的中点,试建立适当的直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.解以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.∵点E在z轴上,且为D1D的中点,∴点E坐标为(0,0,12).过点F作FM⊥AD,FN⊥DC,则|FM|=|FN|=12,故点F坐标为(12,12,0).点G在y轴上,又|GD|=34,故点G坐标为(0,34,0).过点H作HK⊥CG于点K,由于点H为C1G的中点,∴|HK|=12,|CK|=18.∴|DK|=78.故点H的坐标为(0,78,12).
