考点规范练44圆的方程基础巩固组1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案A解析设该直径的两个端点分别为P(a,0),Q(0,b),则A(2,-3)是线段PQ的中点,所以P(4,0),Q(0,-6),圆的半径r=|PA|=√(4-2)2+32=√13.故圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y+2)2=1答案A解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y=x对称的点为C'(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.3.若圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0答案B解析根据题意,设圆心坐标为(0,r),半径为r,则32+(r-1)2=r2,解得r=5.故所求圆的方程为x2+y2-10y=0.4.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案B解析设圆的坐标为(a,-a),则|a-(-a)|√2=|a-(-a)-4|√2,即|a|=|a-2|,解得a=1,则圆的坐标为(1,-1),半径r=2√2=√2,故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.5.设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.6B.25C.26D.36答案D解析(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d=√(5-2)2+(-4)2=5.则点P(x,y)到点(5,-4)的距离的最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.16.圆x2+y2-2y-3=0的圆心坐标是,半径是.答案(0,1)2解析已知圆x2+y2-2y-3=0的方程转化为x2+(y-1)2=4,∴圆心坐标为(0,1),半径r=2.7.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=.答案-43解析由圆的方程x2+y2-2x-8y+13=0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d=|1×a+4-1|√1+a2=1,解之,得a=-43.8.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.答案x2+y2-4x-2y-5=0或(x-2)2+(y-1)2=10解析 圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线方程为y=-12(x-4).设所求圆的圆心为C(a,b),则有{2a-b-3=0,b=-12(a-4),解得{a=2,b=1.因此圆心坐标C(2,1),半径r=|AC|=√10.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.能力提升组9.(2018浙江嘉兴二模)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+√2B.2C.1+√22D.2+2√2答案A解析将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|√2=√2.故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=√2+1,应选A.10.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a的值为()A.2B.-1C.1D.2或-1答案B解析由已知方程表示圆,则a2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0,化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25,表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.211.圆心在曲线y=2x(x>0)上,与直线2x+y+1=0相切,且面积最小的圆的方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=25B.(x-2)2+(y-1)2=5C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-1)2+(y-2)2=5答案D解析设圆心坐标为C(a,2a)(a>0),则半径r=2a+2a+1√5≥2√2a×2a+1√5=√5,当且仅当2a=2a,即a=1时取等号.所以当a=1时圆的半径最小,此时r=√5,C(1,2),所以面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.12.(2018浙江七校联考)若圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则1a+3b的最小值是()A.2√3B.203C.4D.163答案D解析由圆x2+y2+2x-6y+1=0可知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9, 圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0.∴a+3b=3(a>0,b>0).∴1a+3b=13(a+3b)(1a+3b)=131+3ab+3ba+9≥1310+2√3ab·3ba=163,当且仅当3ba=3ab,即a=b时取等号.故选D.13.已知点A,B在双曲线x216−y24=1上,且线段AB经过原点,点M为圆x2+(y-2)2=1上的动点,则⃗MA·⃗MB的最大值为()A.-15B.-9C.-7D.-6答案C解析利用向量的线性运算以及数量积运算法则求解.设圆x2+(y-2)2=1的圆心为C,且A,B关于原点O对...
