课时作业35基本不等式一、选择题1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b解析：只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2
0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6的最大值是()A．3B．6C．9D．36解析：因为a1＋a2＋…＋a10＝30，所以5(a1＋a10)＝30，即a1＋a10＝a5＋a6＝6，因为a5＋a6≥2，所以6≥2，即a5a6≤9，当且仅当a5＝a6时取等号，所以a5a6的最大值为9，选C.答案：C3．(2016·江苏常州第一次质检)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析： x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．答案：C4．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为，a，b的三条线段，则ab的最大值为()A.B.C.D．3解析：如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a2＋x2＝4，b2＋y2＝4，x2＋y2＝3，则a2＋b2＝x2＋y2＋2＝3＋2＝5，又5＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，所以选C.答案：C5．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)的最小值为(＋1)2≥9.∴a≥4.答案：B6．(2016·云南曲靖一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0,1)．已知他投篮一次得分的期望是2，则＋的最小值为()A.B.C.D.解析：由题意可知3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，∴＋＝(3a＋2b)＝·≥·＝，当且仅当＝时取等号．答案：D7．已知函数g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab的最大值为()A.B.C．2D．4解析： 2a2b＝2a＋b＝2，∴a＋b＝1，ab≤2＝，故选B.答案：B8．(2016·河南洛阳统考)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为()A.＋2B.－2C．2＋2D．2－2解析：由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，令t＝－1，可知t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2(当且仅当t＝时等号成立)，当t＝0时，＝0，故的最大值为－2，故选B.答案：B9．(2016·安徽池州二中月考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B．4C.D．5解析：依题意得＋＝(a＋b)＝×[5＋]≥×(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案：C10．已知两条直线l1：y＝a和l2：y＝(其中a>0)，l1与函数y＝|log4x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log4x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为m，n.当a变化时，的最小值为()A．4B．16C．211D．210解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xA＝4－a，xB＝4a，xC＝4，xD＝4，则＝，分子与分母同乘以4a＋，可得＝4＝2，又2a＋＝2a＋1＋－1≥2－1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a＝时，“＝”成立，所以的最小值为211.故选C.答案：C二、填空题11．已知x>0，y>0,2x＋y＝1，则xy的最大值为________．解析： 2xy≤2＝，∴xy≤.(当且仅当2x＝y即x＝，y＝时取“＝”号)．∴xy的最大值为.答案：12．设x>0，y>0，且＋＝，则xy的最小值为________．解析：由＋＝，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8. x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解得≥4.所以xy≥16.答案：1613．(2016·江西八校联考)已知点P(x，y)到A(0,4)和到B(－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x，y满足x＋2y＝3，∴2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时等号成立，故2x＋4y的最小值为4.答案：414．(2016·辽宁沈阳质检)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值．...
