阶段质量检测(二)柯西不等式与排序不等式及其应用(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知a，b均为正实数，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为()A．5B．10C．20D．302．已知x>0，y>0，且4x＋3y＝12，则xy的最大值是()A．1B．2C．3D．43．函数y＝log2(x＞1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－44．设x1，x2，x3取不同的正整数，则m＝＋＋的最小值是()A．1B．2C.D.5．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为()A．1B．10C．11D．216．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为()A．2B．4C.D．167．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值是()A.B.C.D．68．已知3x2＋2y2≤2，则3x＋2y的取值范围是()A．[0，]B．[－，0]C．[－，]D．[－5,5]9．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是()A.B.C．2D.10．若a>0，b>0，c>0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A.－1B.＋1C．2＋2D．2－2二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．函数y＝2＋的最大值是________．12．(湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．13．已知x2＋2y2＝1，则x2y4－1的最大值是________．14．函数y＝＋2的最大值是________．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，求证：1＋＋≤.16．(本小题满分12分)已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.18.(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝＋＋…＋－n的最小值．答案1．选C根据柯西不等式有(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100.∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号．2．选C由4x＋3y≥2，∴≤6，∴xy≤3，故选C.3．选Bx＞1⇒x－1＞0，y＝log2＝log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.24．选C设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足a1＜a2＜a3.∴a1≥1，a2≥2，a3≥3，又∵1＞＞，∴x1＋＋≥1＋＋＝当且仅当x1＝1，x2＝2，x2＝3时取等号．5．选D∵[(x－1)2＋(y－2)2](32＋42)≥[3(x－1)＋4(y－2)]2，即(3x＋4y－11)2≤100.∴3x＋4y－11≤10,3x＋4y≤21.当且仅当＝时取等号．6．选B因为(x＋y)≥(1＋1)2＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立，因此若不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则a≤4，故应选B.7．选C由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)·(x2＋y2＋z2)·≥(1×x＋3×y＋5×z)2×＝62×＝当且仅当x＝＝＝时取等号．8．选C|3x＋2y|≤·≤∴－≤3x＋2y≤.9．选B1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)≥(＋＋2)2·，∴(＋＋2)2≤3，即所求最大值为.10．选D∵a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4－2，且a＋b>0，a＋c>0，∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2＝2(－1)(当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立)，∴2a＋b＋c的最小值为2－2，故选D.11．解析：y＝×＋≤＝，当且仅当x＝时取等号．答案：12．解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案：1213．解析：∵x2＋2y2＝1，∴x2＋y2＋y2＝1.又x2·y4－1＝x2·y2·y2－1，∵x2·y2·y2≤3＝，∴x2y4－1≤－1＝－.即x2y4－1≤－当且仅当x2＝y2＝时取等号．∴x2y4－1的最大值是－.答案：－14．解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.答案：15．证明：设a≥b≥c>0，则a3≥b3，3∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a＝ab(a＋b)，同理：b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，∴＋＋≤＋＋＝·＝.16．解：(x2＋2y2＋3z2)≥2＝(3x＋2y＋z)2，∴(3x＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)＝12.∴－2≤3x＋2y＋z≤2.当且仅当x＝－，y＝－，z＝－时3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2.17．解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.18．解：为了利用柯西不等式，注意到(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，所以(2n－1)＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·≥2＝n2，所以y＋n≥，y≥－n＝.当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时等号成立，从而y有最小值.4
