考点规范练45椭圆一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为x2169+y2144=1.2.已知椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或21答案C解析若a2=9,b2=4+k,则c=❑√5-k,由ca=45,即❑√5-k3=45,得k=-1925;若a2=4+k,b2=9,则c=❑√k-5,由ca=45,即❑√k-5❑√4+k=45,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2>b2B.1a<1bC.0
1b>0,所以0b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.❑√63B.❑√33C.❑√23D.13答案A解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2ab❑√b2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=❑√63.故选A.6.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案B解析设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得bc❑√b2+c2=14×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=12.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.答案❑√63解析由题意得B(-❑√32a,b2),C(❑√32a,b2),F(c,0),所以⃗BF=(c+❑√32a,-b2),⃗CF=(c-❑√32a,-b2).因为∠BFC=90°,所以⃗BF·⃗CF=0.所以c2-(❑√32a)2+(b2)2=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=❑√63.8.已知F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.(1)求△ABF2的周长;(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.解(1) F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4❑√2.(2)设直线l的方程为x=my-1,由{x=my-1,x2+2y2-2=0,得(m2+2)y2-2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2. AF2⊥BF2,∴⃗F2A·⃗F2B=0,∴⃗F2A·⃗F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-(m2+1)m2+2-2m·2mm2+2+4=-m2+7m2+2=0.∴m2=7.∴△ABF2的面积S=12·|F1F2|·❑√(y1+y2)2-4y1y2=89.9.(2018北京,文20)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√63,焦距为2❑√2,斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q(-74,14)共线,求k.解(1)由题意得{a2=b2+c2,ca=❑√63,2c=2❑√2,解得a=❑√3,b=1.所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由{y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.所以|AB|=❑√(x2-x1)2+(y2-y1)2=❑√2(x2-x1)2=❑√2[(x1+x2)2-4x1x2]=❑√12-3m22.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为❑√6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).由{y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得[(x1+2)2+3y12]x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.设D(xD,yD),同理得xD=...
