1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式自主广场我夯基我达标1.若x>0，则4x+29x的最小值是（）A.9B.3363C.13D.不存在思路解析：因为x>0,所以4x+29x=2x+2x+29x≥3363，当且仅当2x=29x,即x=33621时等号成立.答案：B2.若实数x,y满足xy>0，且x2y=2,则xy+x2的最小值是（）A.1B.2C.3D.4思路解析：xy+x2=212xy+21xy+x2≥332232443)(41321213yxxxyxy=1.答案：A3.已知a,b∈R+，则(ba+cb+ac)(ab+bc+ca)≥____________.思路解析：(ba+cb+ac)(ab+bc+ca)=3+abccabbcacabbacabc222222≥3+62222226abccabbcacabbacabc=9.答案：94.设a,b,c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证明：左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥3333333333cbacba=6abc.∴a、b、c∈R+,∴原式成立.5.如果a,b∈R+，且a≠b,求证：a3+b3>a2b+ab2.证明：∵a、b∈R+,且a≠b,则a3+b3=31［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］>31(3333333333cbacba）=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.6.求函数y=4sin2x-cosx的最值.解：∵y2=16sin2xsin2x·cos2x,=8(sin2x·sin2x·2cos2x)1≤8(3cos2sinsin222xxx)3=8×2764278.∴y2≤2764,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±22时取“=”号.∴y大=398,y小=398。7.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于41.证明：假设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41.则(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.①又(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤［6)1()1()1(accbba］6=(21)6=641,这与①矛盾.∴假设不成立.即原结论正确.8.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：acadbcbdbcad≥4.证明：44cdabdcbacdabdcbaacadbcbdbcad=4.当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.我综合我发展9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为___________.思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则4r+2h=l,v=πr2h≤π(3hrr)3=π(6l)3当且仅当r=h=6l时取“=”号.答案：2163l10.已知x∈R+，有不等式x+x1≥2,x+224224xxxx≥3,…,由此启发我们可以推广为：x+nxa≥n+1(n∈N+).则a=__________.思路解析：从n=1,n=2,…归纳得出：x+nnnnxnnxnxxn≥n+1.答案：nn11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=2ba,则两边均含有运2算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是___________.思路解析：a+(b*c)=(a+b)*(a+c),∵a+(b*c)=a+222cbacb,①又∵(a+b)*(a+c)=222)()(cbacaba,②由①②，可知a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)12.若a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求证：29111accbba.证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a).∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］·(accbba111)≥331113))()((3accbbaaccbba=9.∴原式得证.13.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四面分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？解：设正方形的边长为xcm.V=x(60-2x)2=41·4x(60-2x)(60-2x)≤41(32602604xxx)3=16000.当4x=60-2x即x=10时取等号.∴小正方形的边长为10cm时，最大容积为16000cm3.14.已知矩形ABCD的两个顶点A、B在函数y=-2(x-1)2+4(0≤x≤2)的图象上，另两个顶点C、D在x轴上，求这个矩形面积的最大值.解：设A(x0,y0),且不妨设x0>1,则矩形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=2(x0-1)y0.∵y0=-2(x0-1)2+4且1
