1.4生活中的优化问题举例A级：基础巩固练一、选择题1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小答案D解析导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300答案D解析由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390，所以P′(x)＝－＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当300400时，函数为减函数，y<20000元．因此，当x＝300时，总利润y最大．5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A．B．C．D．2答案C解析设底面边长为x，高为h，∴x2·h＝V，∴h＝＝.∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋(x>0)，S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，x3＝4V，x＝.当0时，S′(x)>0，1∴当x＝时S(x)最小．6．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC．RD．R答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝πRh2－h3，∴V′＝πRh－πh2.V′＝0时，得h＝R或h＝0(舍去)．当00；当R0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．答案3解析依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．8．某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(00，f(x)是递增的；x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，所以当x＝时，f(x)取最大值.三、解答题10．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域．求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．2解设长为x米，则宽为米．根据题意得解得≤x≤16.由y＝×400＋2××248＋200×80＝800x＋＋16000，则y′＝800－.令y′＝0，解得x＝18.因为函数定义域为，且当≤x≤16时，y′＜0，所以该函数在定义域内为单调减函数，即y在x＝16处取得最小值，最小值为800×16＋＋16000＝45000.因此当污水...
