大题规范练(五)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．(1)求a的值及数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(1－an)log3(a·an＋1)，求数列{}的前n项和Tn.解：(1) 6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，∴当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，当n≥2时，6an＝6(Sn－Sn－1)＝(3n＋1－a)－(3n＋a)＝2×3n，即an＝3n－1， {an}是等比数列，∴a1＝1，则9＋a＝6，得a＝－3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝(1－an)log3(a·an＋1)＝(3n－2)(3n＋1)，∴＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝.2．(本小题满分12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝AB＝1，点M在线段EC上．(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)若AE∥平面MDB，求三棱锥EBDM的体积．解：(1) DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝.在梯形ABCD中，AD＝＝，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD. BD⊂平面ABCD，∴BD⊥ED.又AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADEF.又BD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)如图，连接AC，AC∩BD＝O，连接MO， 平面EAC∩平面MBD＝MO，AE∥平面MDB，AE⊂平面EAC，∴AE∥OM.又AB∥CD，∴＝＝＝2，S△EDM＝S△EDC＝××1×＝. ED⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴DE⊥BC. AB∥CD，AB⊥BC，∴BC⊥CD.又ED∩DC＝D，∴BC⊥平面EDC.∴VEBDM＝VBEDM＝S△EDM·BC＝××1＝.3．(本小题满分12分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下)．(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率．解：(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)．所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1000×＝750(人)．(2)设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M，记体育成绩在[60,70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80,90)的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，因此事件M的概率P(M)＝.4．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM·PN的最小值．解：(1)由题意可知F，则直线MN的方程为：y＝x－，代入y2＝2px(p＞0)中，得x2－3px＋＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p， |MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x中，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0， l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，即(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1，∴l：y＝x＋1.由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，设P(m，m＋1)，则PM＝(x1－m，y1－(m＋1))，PN＝(x2－m，y2－(m＋1))，∴PM·PN＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝－4，∴y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4·＝4，∴PM·PN＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，PM·PN取得最小值－14.5．(本小题满分12分)...
