第4课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题课时作业1．已知函数f(x)＝lnx－
若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解：∵f(x)＜x2，∴lnx－＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，则h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝，∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)＜h(1)＝－2＜0，即g′(x)＜0
∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数，∴g(x)＜g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立．2．设函数f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1，0)处的切线方程为y＝0
(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)≥(x－1)2；(3)若当x≥1时，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由题意可知，f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)的定义域为{x|x＞0}，即x∈(0，＋∞)，f′(x)＝2axlnx＋ax＋b(x＞0)，∵f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝ae2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1
(2)f(x)＝x2lnx－x＋1，设g(x)＝x2lnx＋x－x2(x≥1)，g′(x)＝2xlnx－x＋1，由[g′(x)]′＝2lnx＋1＞0，得g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g′(x)≥g′(1)＝0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0
∴f(x)≥(x－1)2
(3)设h(x)＝x2lnx－x－m(x－1)2＋1(x≥1)，h′(x)＝2xlnx＋x－2m(x－1)－1，由(2)知x2lnx≥(x－1)2＋x－1＝x(x－1)，∴xlnx≥x－1，∴h′(x)≥3(x
