考点14三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、简单的三角恒等变换一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T14)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=.【解析】方法一:因为θ是第四象限角,所以-+2kπ<θ<2kπ,则-+2kπ<θ+<2kπ+,而sin=,所以cos=.又sinθ=sin=sincos-cossin,则sinθ=-,cosθ=.所以tanθ==-,所以tan===-.答案:-方法二:由题意,sin=,cos=,∴解得所以tanθ=-,tan===-.答案:-2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T9)若cos=,则sin2α=()A.B.C.-D.-【解题指南】利用诱导公式变换角,建立已知角和未知角的联系,利用三角恒等变换公式求值.【解析】选D.因为cos=,sin2α=cos=2cos2-1=-.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T11)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为()A.4B.5C.6D.7【解题指南】函数解析式中的角有两个:2x和-x,需要分别利用二倍角公式和诱导公式化异为同,转化为二次函数问题求解.【解析】选B.因为f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2+,而sinx∈[-1,1],所以当sinx=1时,函数取得最大值5.4.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T5)若tanα=,则cos2α+2sin2α=()A.B.C.1D.【解题指南】根据条件需要把未知量化弦为切.【解析】选A.cos2α+2sin2α=.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T6)若tanθ=-,则cos2θ=()A.-B.-C.D.【解题指南】选择合适的运算公式,尽量避免讨论【解析】选D.因为cos2θ=cos2θ-sin2θ=,又tanθ=-,所以代入上式可得cos2θ=.6.(2016·浙江高考理科·T5)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选B.f(x)=sin2x+bsinx+c=+bsinx+c=-+bsinx+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.7.(2016·山东高考理科·T7)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是()A.B.πC.D.2π【解题指南】利用二倍角公式和辅助角公式求解.【解析】选B.f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=3sinxcosx-sin2x+cos2x-sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin.所以,最小正周期是π.二、填空题8.(2016·浙江高考文科·T11)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.【解题指南】利用倍角公式和辅助角公式化简.【解析】2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1,所以A=,b=1.答案:110.(2016·四川高考理科·T11)cos2-sin2=.【解题指南】根据倍角公式求解.【解析】由题可知,cos2-sin2=cos=.答案:11.(2016·四川高考文科·T11)sin750°=.【解题指南】根据三角函数诱导公式求解.【解析】由三角函数诱导公式sin750°=sin(720°+30°)=sin30°=.答案:12.(2016·江苏高考T14)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.【解题指南】将正弦函数转化为正切函数,根据有关的三角函数公式用tanBtanC表示出tanAtanBtanC的关系式,根据函数式的特点求最值.【解析】由sinA=2sinBsinC及sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,在此等式两边同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC,又tanA=-tan(π-A)=-tan(B+C)=-,所以tanAtanBtanC=-×tanBtanC,由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-.令t=tanBtanC,由A,B,C是锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,所以tanA=->01⇒-tanBtanC<0⇒t>1.tanAtanBtanC=-=-,,由t>1得0>,因此tanAtanBtanC的最小值为8,当且仅当t=2时取等号,此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2,解得tanA=4,tanB=2+,tanC=2-,或tanA=4,tanB=2-,tanC=2+,此时A,B,C均为锐角.答案:8三、解答题13.(2016·山东高考文科·T17)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.【解题指南】经过三角恒等变换,结合辅助角公式求出f(x)=2sin+-1,下面的单调区间和图象变换都易解决.【解析】(1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-(1-2sinxcosx)=(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2x+-1=2sin+-1,令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得,kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以,f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由(1)知,f(x)=2sin+-1,经过变换后,g(x)=2sinx+-1...
