命题角度5.6：圆锥曲线的探究、存在性问题1.已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆右焦点的任一直线（不经过点）与椭圆交于两点，，设直线与相交于点，记的斜率分别为，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值.试题解析：（1）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的方程为.（2）由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，则有④在方程③中，令得，，从而.又因为共线，则有，即有所以=⑤将④代入⑤得，又，所以为定值.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．2.已知椭圆：（），以椭圆的短轴为直径的圆经过椭圆左右两个焦点，，是椭圆的长轴端点．（1）求圆的方程和椭圆的离心率；（2）设，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，，试判断与所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．【答案】（1）;（2）与所在的直线互相垂直．试题解析：（1）由椭圆定义可得，又且，解得，，则圆的方程为，椭圆的离心率．（2）如图所示，设（），，则即又由：，得．由：，得．所以，，所以，所以，即与所在的直线互相垂直．点睛：本题考查椭圆方程和圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查定值问题的解法，注意运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题.3.椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）和．【解析】试题分析：（1）首先设，然后根据离心率得到与的关系，再根据三角形面积取得最大值时点为短轴端点，由此求得的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标．（2）设直线的方程为，，，联立可得，则，，直线的方程为，直线的方程为，则，，假设为直径的圆是否恒过定点，则，，，即，即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．4.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题设知，，，又，解得，由此可得求椭圆的方程；（2）①，则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两实根，故，即可证明结果；②考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.由，得，于是有，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即可证明直线过定点.试题解析：（1）由题设知，，，又，解得.故所求椭圆的方程是.由，得，于是有.直线的斜率为，直线的方程为，令，得，故直线过定点.5.已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）、是椭圆上的两点，若直线与的斜...
