第九章计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲索引1.分类加法计数原理.2.分类乘法计数原理.课标要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用它们分析和解决一些简单的实际问题.知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事情可以有n类方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有种不同的方法.基础自测3.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有().A.60种B.63种C.65种D.66种4.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)5.有三只口袋装有小球,一只装有5个白球,一只装有6个黑球,一只装有7个红球,若三种颜色的球各取一个,则有种不同的取法.指点迷津◆分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区1别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.◆混合问题混合问题一般是先分类再分布.◆画图要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.考点透析考向一分类加法计数原理的应用例1高三(1)班有学生50人,男30人,女20人;高三(2)班有学生60人,男30人,女30人;高三(3)班有学生55人,男35人,女20人.(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中,或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?【审题视点】运用分类加法计数原理,先求出每类方案的取法,再进行相加即可.【方法总结】分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.变式训练1.在所有的两位数中,个位数字小于十位数的两位数字共有多少个?考向二分步乘法计数原理的应用例2现要排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人.每个人都可以值多天班或2不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排法?【审题视点】运用分步乘法计数原理,先分别求出每一天可排的人数,再进行相乘即可.【方法总结】利用分步乘法计数原理解决问题:①要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.变式训练2.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?考向三两个计数原理的综合应用例3如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂1种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有().A.72种B.96种C.108种D.120种【审题视点】分成1,3同色与1,3不同色两类,分别求出涂色法,再进行相加.3【方法总结】对于某些复杂的问题,有时既要用分类加法计数原理,又要用分步乘法计数原理.运用两个计数原理解题时是先分类、后分步,还是先分步、后分类,应视具体问题而定,并搞清分类或分步的具体标准是什么,完成事情的含义和标准是什么.变式训练3.用六种颜色给正四面体A-BCD的每条棱涂色,要求每条棱只涂一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色,问:有多少种不同的涂色方法?经典考题典例(2014·福建)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表...
