高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值教师用书 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

第二节函数的单调性与最值[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)增、减函数增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的(2)单调区间和函数的单调性①如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≥M结论M为最大值M为最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝在其定义域上递减．()(2)函数y＝＋x在其定义域上递增．()(3)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且＞0，则函数f(x)在D上是增加的．()(4)若函数f(x)的最大值是M，最小值是m，则函数f(x)的值域一定是[m，M]．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()【导学号：66482027】1A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－xD[选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．2[可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减少的，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.【导学号：66482028】[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]8[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]函数单调性的判断(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的递减区间为________．(2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．(1)(－∞，－1)[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1).2分因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(，＋∞)上递增.6分当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，)上递减．考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上递增，在(－，0)上递减．综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上递增，在(－，0)和(0，)上递减.12分法二：f′(x)＝1－.2分令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，2－)和(，＋∞).6分令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，).10分故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上递增，在(－，0)和(0，)上递减.12分[规律方法]1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．[变式...