高考数学一轮复习 专题四 立体几何课时作业（含解析）文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

立体几何1．(2017·南宁模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解：(1)证明： PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD. 底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BN⊥AD. PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2) PA＝PD＝AD＝2.∴PN＝NB＝. 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD.∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝. AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB. PM＝2MC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝VC－PNB＝×××2＝.2．(2017·山西四校联考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE＝1.(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．解：(1)证明： AB是直径，∴BC⊥AC.又四边形DCBE为矩形，∴CD⊥DE，BC∥DE，∴DE⊥AC. CD∩AC＝C，∴DE⊥平面ACD.又DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD.(2)由(1)知VC－ADE＝VE－ACD＝×S△ACD×DE＝××AC×CD×DE＝×AC×BC≤×(AC2＋BC2)＝×AB2＝.当且仅当AC＝BC＝2时等号成立．∴当AC＝BC＝2时，三棱锥C－ADE的体积最大，为.此时，AD＝＝3，S△ADE＝×AD×DE＝3，设点C到平面ADE的距离为h，则VC－ADE＝×S△ADE×h＝，h＝.3．(2017·长春模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求三棱锥P－BEF的表面积．解：(1)证明：如图，作FM∥CD交PC于M，连接ME. 点F为PD的中点，∴FM綊CD，又AE綊CD，∴AE綊FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC.(2)连接ED，BD，可知ED⊥AB，⇒AB⊥PE，AB⊥FE.故S△PEF＝PF×ED＝××＝；S△PBF＝PF×BD＝××1＝；S△PBE＝PE×EB＝××＝；S△BEF＝EF×EB＝×1×＝.因此三棱锥P－BEF的表面积SP－BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝.1．在如图①所示的半圆O中，AB为直径，C为半圆O(A，B除外)上任一点，D、E分别在AO、AC上，DE⊥AB.现将△ABC沿DE折起使得AD⊥BD，从而构成四棱锥A－BCED，如图②所示．(1)在图②中，若F是BC上的点，且EC∥平面ADF，求证：BC⊥AF；(2)若翻折前DC＝，AD＝1，∠BAC＝30°，求翻折后四棱锥A－BCED的体积．解：(1)证明：因为EC∥平面ADF，平面BCED∩平面ADF＝DF，所以EC∥DF.由已知可得EC⊥BC，所以DF⊥BC.又AD⊥BD，AD⊥DE，DE∩BD＝D，所以AD⊥平面BCED，又BC⊂平面BCED，所以AD⊥BC.又AD∩DF＝D，所以BC⊥平面ADF.又AF⊂平面ADF，所以BC⊥AF.(2)设半圆O的半径为R，在图中连接OC，因为∠BAC＝30°，AB⊥DE，AC⊥BC，AD＝1，所以DE＝AD·tan30°＝，∠AOC＝120°，DO＝R－1，OC＝R.又DC＝，在△OCD中，由余弦定理得DC2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos120°，即7＝(R－1)2＋R2－2(R－1)·R·，即(R－2)(R＋1)＝0，解得R＝2或R＝－1(舍去)．所以AC＝2R·cos30°＝2，BC＝2R·sin30°＝2.所以S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝×2×2－×1×＝.由(1)知四棱锥A－BCED的高为AD＝1，所以四棱锥A－BCED的体积为V＝×AD×S四边形BCED＝×1×＝.2．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A＝AB＝BC＝1，CD＝2.(1)求证：AB1⊥平面A1BC；(2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC？若存在，求出三棱锥N－AA1C的体积，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以A1A⊥BC.因为AB⊥BC，AB∩A1A＝A，所以BC⊥平面AA1B1B.又AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥BC.因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B.因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC.(2)法1：存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.理由如下：若N为CD的中点，连接BN，因为AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以AB∥DN，AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥AD，BN＝AD.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1，AD＝A1D1，所以BN＝A1D1，BN∥A1D1，所以...