课时限时检测(二十七)平面向量的数量积(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难数量积的运算1,3,85应用数量积求夹角、求模76应用数量积垂直的条件求参数211综合应用49,1012一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.【解析】AB＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.【答案】A2．(2013·大纲全国卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1【解析】因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.【答案】B3．(2014·聊城模拟)若向量a,b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0【解析】∵a⊥c，∴a·c＝0，又∵a∥b，则设b＝λa，∴c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.【答案】D4．(2014·威海模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a－b|＝()A．2B．4C．2D．8【解析】∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝|a||b|cos60°＝2×＝1.∴|2a－b|＝＝＝2.【答案】A5．(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－，则λ＝()A.B.C.D.【解析】BQ·CP＝(BA＋AQ)·(CA＋AP)＝[BA＋(1－λ)AC]·(CA＋λAB)＝－，所以4λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝.【答案】A6．(2014·大连模拟)已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()1A.B.C.D.【解析】因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.所以a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．【解析】∵b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2，∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.【答案】－8．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________．【解析】(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos60°＝2，则a＋b在a方向上的投影为＝2.【答案】29．(2014·兰州模拟)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA＝－2i＋j，OB＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．【解析】由题意知OA＝(－2,1)，OB＝(4,3)，则|OA|＝，|OB|＝5，OA·OB＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos∠AOB＝＝＝－，∴sin∠AOB＝，∴S△OAB＝|OA||OB|sin∠AOB＝××5×＝5.【答案】5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2014·温州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；(2)若2a＋b与a－b的夹角是锐角，求x的取值范围．【解】(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)∴2a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(1－x,1)．由(2a＋b)∥(a－b)可知2＋x＝5－5x.解得x＝.(2)由题意可知(2a＋b)·(a－b)＞0且2a＋b与a－b不共线∴∴＜x＜且x≠.即所求x的取值范围是∪.2图4－3－111．(12分)(2014·德州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足OM＝OA，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图4－3－1.(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA－λOP)⊥CM，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【解】(1)由题意可得OA＝(6,0)，OC＝(1，)，OM＝OA＝(3,0)，CM＝(2，－)，CO＝(－1，－)．∴cos∠OCM＝cos〈CO，CM〉＝＝(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λOP＝(λt，λ)OA－λOP＝(6－λt，－λ)，CM＝(2，－)若(OA－λOP)⊥CM，则(OA－λOP)·CM＝0即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，若t≠，则λ＝∵t∈∪，故λ∈(－∞，－12)∪.12．(13分)(2014·扬州模拟)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|AC|＝|BC|，求的值；(2)若(OA＋2OB)·OC＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．【解】∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，∴AC＝(2sinθ－1，cosθ)，BC＝(2sinθ，cosθ－1)．(1)|AC|＝|BC|，∴＝，化简得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，∴＝＝＝－5.(2)OA＝(1,0)，OB＝(0,1)，OC＝(2sinθ，cosθ)，∴OA＋2OB＝(1,2)，∵(OA＋2OB)·OC＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴(sinθ＋cosθ)2＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sinθ·cosθ＝－.3
