§9.8抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点①②③④准线⑤x＝－⑥⑦y＝－⑧范围⑨x≥0，y∈R⑩⑪⑫y≤0，x∈R对称轴⑬⑭y轴顶点⑮原点O(0，0)离心率⑯开口⑰⑱向左⑲向上⑳自查自纠1．l焦点准线2．①③⑥x＝⑧y＝⑩x≤0，y∈R⑪y≥0，x∈R⑬x轴⑯e＝1⑰向右⑳向下()已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)解： 抛物线的准线方程为x＝－＝－1，∴＝1，焦点坐标为(1，0)．故选B.已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为()A．x＝8B．x＝－8C．x＝4D．x＝－4解：由题意得1＋＝5，故p＝8，准线方程为x＝－4.故选D.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.解：易知抛物线y2＝x的准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点P(x0，y0)，则由抛物线的定义得|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋. |AF|＋|BF|＝3，∴x1＋x2＝，x0＝(x1＋x2)＝，即P点到y轴的距离为.故选C.()若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝____________．解：抛物线的准线方程为x＝－， p>0，∴x＝－必经过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－，0)，∴－＝－，p＝2.故填2.()已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝____________．解：过点Q作QQ′⊥l于点Q′， FP＝4FQ，∴＝.又焦点F到准线l的距离为4，∴＝＝，|QF|＝|QQ′|＝3.故填3.类型一抛物线的定义及标准方程(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程．解： 抛物线过点A(m，－3)，∴抛物线的开口向下、向右或向左．①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，准线方程为y＝，由抛物线的定义得－(－3)＝5，解得p＝4，抛物线的方程为x2＝－8y. 点A(m，－3)在抛物线上，∴代入得m2＝24，m＝±2.②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，准线方程可统一为x＝－.由题意可得解得或或或∴当m＝时，抛物线的方程为y2＝2x；当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－2x；当m＝时，抛物线的方程为y2＝18x；当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－18x.(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.D.解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.故选A.【点拨】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率．(2)把“数”“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．(1)F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为____________．(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是____________．(3)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为____________．解：(1)过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由|AF|＋|BF|＝6及抛物线的定义知|AD|＋|BE|＝6，∴线段AB的中点到准线的距离为(|AD|＋|BE|)＝3.又抛物线的准线为x＝－，∴线段AB的中点到y轴的距离为.故填.(2)将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4， |a|＞4，∴A在抛物线...
