高中数学例谈椭圆定义在解题中的应用定义是揭示事物的本质属性,对于某些数学问题,若能灵活运用定义解题,往往事半功倍,本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一.解方程例1.xxxx2222224分析:常规方法是经过两次平方去根号求解,但运算繁杂,难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义,将方程配方后令12y,得()()xyxy1142222,则点M(x,y)的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。解:由原方程可得yxyxy222221114()()xyy2224311解得x263二.判断方程表示的曲线例2.已知xyR、,且满足xxyxy2244122||,试判断点M的轨迹是怎样的曲线。分析:若将原方程平方,化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线,注意式子结构的特点,左边可看成点M到点(2,0)的距离,从而可联想右边可化为点M到直线xy20的距离,即有()||xyxy2222222,由此联想到椭圆的第二定义,就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。三.求参数的取值范围例3.(2004年高考·全国卷III)设椭圆xmy2211的两个焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直,求m的取值范围。解:由题意知m>0,amb11,,cm,且||||||||||PFPFFFcPFPFa122212221242①②②2-①得:||||PFPFacb12222222又||||(||||)PFPFPFPFa1212222所以222ba,即21m,所以m1例4.(1997年全国联赛题)若方程m(xyyxy2222123)()表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,5)D.(5,+∞)用心爱心专心分析:由已知得mxyxy[()]()222123即xyxym2212555()||依题意,此方程表示椭圆,根据椭圆的第二定义,得em501(),,解得m>5,选D。四.求最值例5.(1)(1999年全国联赛题)给定A(-2,2),已知B是椭圆xy2225161上动点,F是左焦点,当||||ABBF53取最小值时,求B点坐标。(2)已知椭圆xy22431内有一点P(1,-1),F为椭圆右焦点,M是椭圆上动点,求|MP|+|MF|的最小值。分析:此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数,再求最值,因含有两个根式的和,代入消元不易,难以求解,但如果我们注意数量特征,利用椭圆定义合理转化,则可得到如下简解。解:(1)显然点A在椭圆内部,由椭圆第二定义可得:B到椭圆左准线l的距离dBF53||,所以||||||ABBFABd53,结合平面几何知识,可知,当AB⊥l时,||ABd最小,此时易求B点坐标为(532,2)(2)设椭圆的左焦点为F',由平面几何知识,得|||'||'|MPMFPF,当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取等号。所以|||||'||'||||'|MPMFMFPFMFPF445所以||||MPMF的最小值为45。五.求轨迹方程例6.(2002年春季高考题)已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上一个动点,如果延长F1P到Q,使得||||PQPF2,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线解:因为||||PQPF2,所以||||||||||QFPQPFPFPF1121由椭圆第一定义得||||PFPFa122,故||QFa12,即Q点轨迹是以F1为圆心,以2a为半径的圆,选A。六.求焦点三角形的面积例7.已知点P是椭圆xaybab222210()上的一点,F1、F2是两个焦点,且∠F1PF2=α,求△F1PF2的面积S。解:△PF1F2中,由余弦定理,得||||||||||cos(||||)||||(cos)FFPFPFPFPFPFPFPFPF12212221212212221所以||||cosPFPFb12221用心爱心专心故SPFPFbbPFF1212121222||||sinsincostan七.求离心率例8.已知P是椭圆xaybab222210()上一点,F1、F2是椭圆的左、右焦点若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求椭圆离心率。解:△PF1F2中,由正弦定理有||sin||sin||sin[()]PFPFFF1212||||sinsin||sin()PFPFFF121222acsinsinsin()ecasin()sinsin八.求离心率取值范围例9.(2001年“希望杯”赛题)F1、F2是椭圆xaybab222210()的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°,求椭圆离心率的取值范围。解:由同例8得esin()sinsincoscos22又60,所以ecoscoscos[)302322321,用心爱心专心