高中数学例谈椭圆定义在解题中的应用专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学例谈椭圆定义在解题中的应用定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一.解方程例1.xxxx2222224分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12y，得()()xyxy1142222，则点M（x，y）的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。解：由原方程可得yxyxy222221114()()xyy2224311解得x263二.判断方程表示的曲线例2.已知xyR、，且满足xxyxy2244122||，试判断点M的轨迹是怎样的曲线。分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M到直线xy20的距离，即有()||xyxy2222222，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。三.求参数的取值范围例3.（2004年高考·全国卷III）设椭圆xmy2211的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。解：由题意知m>0，amb11，，cm，且||||||||||PFPFFFcPFPFa122212221242①②②2－①得：||||PFPFacb12222222又||||(||||)PFPFPFPFa1212222所以222ba，即21m，所以m1例4.（1997年全国联赛题）若方程m(xyyxy2222123)()表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（0，5）D.（5，+∞）用心爱心专心分析：由已知得mxyxy[()]()222123即xyxym2212555()||依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得em501()，，解得m>5，选D。四.求最值例5.（1）（1999年全国联赛题）给定A（-2，2），已知B是椭圆xy2225161上动点，F是左焦点，当||||ABBF53取最小值时，求B点坐标。（2）已知椭圆xy22431内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值。分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。解：（1）显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离dBF53||，所以||||||ABBFABd53，结合平面几何知识，可知，当AB⊥l时，||ABd最小，此时易求B点坐标为（532，2）（2）设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得|||'||'|MPMFPF，当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取等号。所以|||||'||'||||'|MPMFMFPFMFPF445所以||||MPMF的最小值为45。五.求轨迹方程例6.（2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得||||PQPF2，那么动点Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线解：因为||||PQPF2，所以||||||||||QFPQPFPFPF1121由椭圆第一定义得||||PFPFa122，故||QFa12，即Q点轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆，选A。六.求焦点三角形的面积例7.已知点P是椭圆xaybab222210()上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝α，求△F1PF2的面积S。解：△PF1F2中，由余弦定理，得||||||||||cos(||||)||||(cos)FFPFPFPFPFPFPFPFPF12212221212212221所以||||cosPFPFb12221用心爱心专心故SPFPFbbPFF1212121222||||sinsincostan七.求离心率例8.已知P是椭圆xaybab222210()上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求椭圆离心率。解：△PF1F2中，由正弦定理有||sin||sin||sin[()]PFPFFF1212||||sinsin||sin()PFPFFF121222acsinsinsin()ecasin()sinsin八.求离心率取值范围例9.（2001年“希望杯”赛题）F1、F2是椭圆xaybab222210()的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。解：由同例8得esin()sinsincoscos22又60，所以ecoscoscos[)302322321，用心爱心专心