高中数学解题方法谈：再品两大数学思想VIP专享VIP免费

再品两大数学思想统计与概率取材于我们的日常生活，体现了数学来源于生活，又作用于生活的特点.用分类与整合思想、整体思想解决这类问题，是我们应具备的能力.一、分类与整合思想例１4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）.（A）48（B）36（C）24（D）18解析：按照选甲、乙两道题的情况进行分类：第一类，都选甲，则两人正确，214CN种；第二类，都选乙，则两人正确，224CN种；第三类，两人选甲、两人选乙.选甲题的两位同学，恰一人答对另一人答错；选乙题的两位同学，也是一人答对另一人答错，有34!N种.故共有2212344C+C4!36NNNN种，选（B）.例2如右图，一辆车要通过某十字路口，直行时前方刚好由绿灯转为红灯，该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率是23，左转行驶的概率是13，该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转的车驶出停车线需要20秒，求：（1）前4辆恰有2辆左转行驶的概率；（2）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）.解析：（1）前4辆恰有2辆左转行驶的概率为22214218C3327P；（2）当前4辆车都直行时，前4辆车共花去时间40秒，则该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内能通过该路口，此时该车通过该路口的概率为4424216C381P.当前4辆车中恰有1辆车左转行驶时，前4辆车共花去时间50秒，该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内可以通过该路口，此时该车通过该路口的概率为33342132C3381P.显然，前4辆车中有两辆车或两辆以上左转行驶时，该车通不过路口.由概率的加法公式知：该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率4231627PPP.二、整体思想整体思想是暂时抛开局部因素不计，从整体着眼，通过问题的整体形式、整体结构进行整体处理后，达到简捷解题的目的.例3abcde，，，，五个人并排站成一排照相，若b必须站在a的右边（a，b可以不用心爱心专心相邻），那么不同的排法种数为（）.（A）36（B）60（C）90（D）120解析：若按照a所在的位置进行分类，共有四种情况：a在左边第一个位置有44A种排法；a在左边第二个位置有1333AA种排法；a在左边第三个位置有1323AA种排法；a在左边第四个位置有33A种排法.故共有413133433233AAAAAA60种排法，选（B）.不考虑限制，abcde，，，，五个人并排站成一排照相共有55A种排法.考虑限制条件的对称性：a在b的右边与a在b的左边机会均等，故共有5522AA种排法，选（B）.此题利用整体思想来解，避免了繁冗的分类讨论.编注：若abc，，三人的顺序一定，排法种数为5533AA.也可以用25A表示.对n个元素中m个元素顺序一定问题的排法有AAnnmm种.例4从6本不同的书中任选４本在书架上排成一排，其中甲、乙排在一起的概率是________.（结果用分数表示）解析：由于甲、乙必须排在一起，我们可将甲、乙视为一个整体当作一本书，它与其余两本书作全排列，则有3234AC种不同的排法，再将甲、乙互换位置，则共有322342ACA72种，又基本事件的总数为46A360种，故所求的概率7213605P.用心爱心专心