高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例练习 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第四章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例[基础训练组]1．(导学号14577400)(新课标高考全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：A[由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.]2．(导学号14577401)(2018·安徽合肥市三校联考)a＝(1,2)，b＝(x,1)，m＝a＋2b，n＝2a－b且m⊥n，则x＝()A．2B.C.或－D．－2或解析：D[ a＝(1,2)，b＝(x,1)，∴m＝a＋2b＝(1＋2x,4)，n＝2a－b＝(2－x,3)，又 m⊥n，∴m·n＝(1＋2x)·(2－x)＋3×4＝0，解得x＝－2或x＝，故选D.]3．(导学号14577402)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC－CA)·(BD－AD)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：A[(BC－CA)·(BD－AD)＝(BC－CA)·BA＝0，所以BC·BA＝CA·BA，设BC＝a，AC＝b，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]4．(导学号14577403)(2018·白山市三模)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P在AM上，且满足AP＝3PM，则PA·(PB＋PC)的值为()A．－4B．6C．－6D．4解析：C[如图所示， AM＝4，又由点P在AM上且满足AP＝3PM，∴|AP|＝3，|PM|＝1. M是BC的中点，∴PB＋PC＝2PM＝AP∴PA·(PB＋PC)＝－AP2＝－×9＝－6，故选C.]5．(导学号14577404)(2018·温州市一模)已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD·PC的最大值为()A.B.C．2D.解析：C[以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系， 正方形ABCD的面积为2，∴B(，0)，C(，)，D(0，)．设P(x,0)(0≤x≤)，则PC＝(－x，)，PD＝(－x，)．∴PC·PD＝－x(－x)＋2＝x2－x＋2＝2＋，∴当x＝，0时，PC·PD取得最大值2.故选C.]6．(导学号14577405)(2018·兰州市一模)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝____.解析： 菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∠BDC＝30°，BD＝＝a.∴BD·CD＝a·a·cos30°＝a2.答案：a27．(导学号14577406)(2018·天门市5月模拟)△ABC为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则AP·OP＝________.解析：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；根据条件知CA＝CB＝，∴A(0，)，B(，0)，O，P，∴AP＝，OP＝，∴AP·OP＝－＋＝.答案：8．(导学号14577407)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________.解析：由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝2.答案：29．(导学号14577408)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.10．(导学号14577409)(2018·揭阳市二模)已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且AB·AC＝－.(1)求△ABC的面积；(2)若AB＝5，求AD的长．解：(1) AB·AC＝－，∴AB·AC·cos∠BAC＝－AB·AC＝－，即AB·AC＝15，∴S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×15×＝.(2)法一：由AB＝5得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连结BE. BD＝DC,∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3.设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos∠ABE＝25－9－15＝19，解得x＝，即AD的长为.法二：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7.由正弦定理得＝，得sin∠ACD＝＝＝. 0°<∠ACD<90°∴cos∠ACD＝＝.在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝，解得AD＝.[能力提升组]11．(导学号14577410)(2018·泉州市一模)已知向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝...