专题限时训练(七)任意角的三角函数及三角恒等变换(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于()A.B.C．－D．－答案：D解析：因为tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.2．已知α∈，点A在角α的终边上，且|OA|＝4cosα，则点A的纵坐标y的取值范围是()A．[1,2]B.C.D．[1，]答案：A解析：由正弦函数的定义可知＝sinα，即y＝|OA|sinα＝2sin2α.因为α∈，所以sin2α∈，所以y∈[1,2]．3．(2015·河北唐山一模)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－B.C．－或0D.或0答案：D解析：∵∴或∴tan2α＝0或tan2α＝.4．(2015·广西南宁第二次适应测试)已知sin2α＝，则cos2＝()A．－B.C．－D.答案：D解析：cos2＝＝，把sin2α＝代入，原式＝＝.故选D.5．(2015·四川成都检测)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或答案：A解析：∵sin2α＝，α∈，∴cos2α＝－且α∈，又∵sin(β－α)＝，β∈，∴cos(β－α)＝－，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α＝×＋×＝－，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3,4)，则cos2α＝________.答案：－解析：由题意知，sinα＝，cosα＝，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－7．已知sinβ＝，且sin(α＋β)＝cosα，则sin2α＋sinαcosα－2cos2α等于________．答案：－解析：由sinβ＝，得cosβ＝－，又sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinα×＋cosα×＝cosα，所以－sinα＝cosα，tanα＝－，sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝＝＝＝－.8．(2015·湖北武汉调研)已知角α，β，γ构成公差为的等差数列．若cosβ＝－，则cosα＋cosγ＝________.答案：－解析：由角α，β，γ构成公差为的等差数列，可得α＝β－，γ＝β＋，所以cosα＋cosγ＝cos＋cos＝2cosβcos，把cosβ＝－代入，原式＝－.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．(2015·湖南常德模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋mcosωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m的值；(2)若f＝，θ∈，求f的值．解：(1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝.由题意知，函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∵f＝2sin＝，∴sin＝，∵θ∈，∴θ＋∈，∴cos＝－＝－，∴sinθ＝sin＝sin·cos－cossin＝，∴f＝2sin＝2sin＝2cos2θ＝2(1－2sin2θ)＝2×＝－.10.(2015·四川卷)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．(1)证明：tan＝；(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan＋tan＋tan＋tan的值．解：(1)证明：tan＝＝＝.(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B.由(1)，得tan＋tan＋tan＋tan＝＋＋＋＝＋.连接BD(图略)．在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC.所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA.则cosA＝＝＝.于是sinA＝＝＝.连接AC.同理可得cosB＝＝＝，于是sinB＝＝＝.所以tan＋tan＋tan＋tan＝＋＝＋＝.11．(2014·三明模拟)已知向量a＝(sinα，－2)与b＝(1，cosα)，其中α∈.(1)若a⊥b，求sinα和cosα的值；(2)在(1)的条件下，若cosβ＝，β∈，求α＋β的值．解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝sinα－2cosα＝0.即sinα＝2cosα.又因为sin2α＋cos2α＝1.所以4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，所以sin2α＝.又α∈，所以sinα＝，cosα＝.(2)由(1)知，sinα＝，cosα＝，cosβ＝，β∈，得sinβ＝.则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝.
