高中数学正难则反,巧用反证法证明不等式反证法是根据“正难则反”的原理,即如果正面证明有困难时,或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时,可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用,而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效。例1.设a,b,c,d均为正数,求证:下列三个不等式①a+b<c+d,②()()abcdabcd,③()()abcdabcd中至少有一个不正确。证明:假设不等式①、②、③都成立,因为a,b,c,d都是正数,所以由不等式①、②得,()()()ababcdabcd2。由不等式③得,()()()()abcdabcdabcd22·因为ab0,所以4cdabcd()()综合不等式②,得43cdabcdcdab,,即cdab13由不等式④,得()ababcdab243,即abab2223,显然矛盾。∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。例2.已知abcabbccaabc000,,,求证:abc000,,。证明:由abc0知a≠0,假设a0,则bc0又因为abc0,所以bca0,即abc()0从而abbccaabcbc()0,与已知矛盾。∴假设不成立,从而a0同理,可证bc00,。例3.若pqpq00233,,,求证:pq2。证明:假设pq2,则()pq38,即pqpqpq3338()。因为pq332所以pqpq()2故pqpqpqpqppqq()()()23322又p0,q0,即pq0∴pqppqq22,即()pq20,不成立。故假设不成立,即pq2。例4.设a,b,c均为小于1的正数,求证:()()11abbc,,()1ca不能同时大于14。证明:假设()()()111abbcca,,同时大于14,即()114ab,()114bc,()114ca。则由141122()()abab,可得1212ab同理,1212bc,1212ca用心爱心专心三个同向不等式两边分别相加,得3232,所以假设不成立。∴原结论成立。例5.若02a,02b,02c,求证:()()22abbc,,()2ca不能同时大于1。证明:由题意知202020abc,,假设有()()()212121abbcca那么()()2221abab同理,()221bc()221ca①+②+③,得33矛盾,假设不成立。故()2ab,()2bc,()2ca不能同时大于1。用心爱心专心