高中数学正难则反，巧用反证法证明不等式学法指导VIP免费

高中数学正难则反，巧用反证法证明不等式反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。例1.设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②()()abcdabcd，③()()abcdabcd中至少有一个不正确。证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a，b，c，d都是正数，所以由不等式①、②得，()()()ababcdabcd2。由不等式③得，()()()()abcdabcdabcd22·因为ab0，所以4cdabcd()()综合不等式②，得43cdabcdcdab，，即cdab13由不等式④，得()ababcdab243，即abab2223，显然矛盾。∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。例2.已知abcabbccaabc000，，，求证：abc000，，。证明：由abc0知a≠0，假设a0，则bc0又因为abc0，所以bca0，即abc()0从而abbccaabcbc()0，与已知矛盾。∴假设不成立，从而a0同理，可证bc00，。例3.若pqpq00233，，，求证：pq2。证明：假设pq2，则()pq38，即pqpqpq3338()。因为pq332所以pqpq()2故pqpqpqpqppqq()()()23322又p0，q0，即pq0∴pqppqq22，即()pq20，不成立。故假设不成立，即pq2。例4.设a，b，c均为小于1的正数，求证：()()11abbc，，()1ca不能同时大于14。证明：假设()()()111abbcca，，同时大于14，即()114ab，()114bc，()114ca。则由141122()()abab，可得1212ab同理，1212bc，1212ca用心爱心专心三个同向不等式两边分别相加，得3232，所以假设不成立。∴原结论成立。例5.若02a，02b，02c，求证：()()22abbc，，()2ca不能同时大于1。证明：由题意知202020abc，，假设有()()()212121abbcca那么()()2221abab同理，()221bc()221ca①＋②＋③，得33矛盾，假设不成立。故()2ab，()2bc，()2ca不能同时大于1。用心爱心专心