§26整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合.我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如ba,是整除，0b，则ba不一定是整数.由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a和任一整数b，必有惟一的一对整数q，r使得rbqa，br0，并且整数q和r由上述条件惟一确定，则q称为b除a的不完全商，r称为b除a的余数.若0r，则称b整除a，或a被b整除，或称ba是的倍数，或称ab是的约数（又叫因子）记为ab|.否则，b|a.任何a的非1,a的约数，叫做a的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若.|,|,|cacbba则（2）若.,,2,1,,|,|1niZcbcabainiiii其中则（3）若ca|，则.|cbab反之，亦成立.（4）若||||,|baba则.因此，若baabba则又,|,|.（5）a、b互质，若.|,|,|cabcbca则（6）p为质数，若,|21naaap则p必能整除naaa,,,21中的某一个.特别地，若p为质数，.|,|apapn则（7）如在等式mkkniiba11中除开某一项外，其余各项都是c的倍数，则这一项也是c的倍数.（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数.（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以用心爱心专心1讨论整数的约数的个数了.Ⅱ.最大公约数和最小公倍数定义二：设a、b是两个不全为0的整数.若整数c满足：bcac|,|，则称bac,为的公约数，ba与的所有公约数中的最大者称为ba与的最大公约数，记为),(ba.如果),(ba=1，则称ba与互质或互素.定义三：如果ad是、b的倍数，则称ad是、b的公倍数.ba与的公倍数中最小的正数称为ba与的最小公倍数，记为],[ba.最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21naaa表示naaa,,,21的最大公约数，],,,[21naaa表示naaa,,,21的最小公倍数.若1),,,(21naaa，则称naaaa,,,,321互质，若naaa,,,21中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n个整数互质与n个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,baba与有相同的公约数，且|)||,(|),(baba（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数n能否表成m个整数的k次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1m时称为k次方问题，当2k时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论：（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1.（3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7.（6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例题讲解1．证明：对于任何自然数n和k，数1042),(3kknnknf都不能分解成若干个连续的正整数之积.用心爱心专心22．设p和q均为自然数,使得.131911318131211qp证明：p可被1979整除.3．对于整数n与k，定义,),(112nrkrknF求证：)1,(nF可整除).,(knF4．求一对整数ba,，满足：(1))(baab不能被7整除；（2）777)(baba能被77整除.5．求设a和b是两个正整数，pba,1),(为大于或等于3的质数，bababacpp,(），试证：（1...
