高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题19正弦定理和余弦定理及解三角形理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【热点题型】题型一正、余弦定理的简单运用【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝2，b＝，A＝45°，则c＝________．(2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________．【答案】(1)3＋(2)【解析】(1)法一在△ABC中，由正弦定理得sinB＝＝＝，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sinC＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.故c＝＝＝＋3.【提分秘籍】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【举一反三】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()1A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________．【答案】(1)A(2)【解析】(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝＝＝－＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．题型二正、余弦定理的综合运用【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．【解析】(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝＝，因为B＝A＋，所以sinB＝sin＝cosA＝.由正弦定理，得b＝＝＝3.(2)由B＝A＋，得cosB＝cos＝－sinA＝－.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.因此△ABC的面积S＝absinC＝×3×3×＝.【提分秘籍】2有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；(2)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．【解析】所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c.又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．3【解析】则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．【提分秘籍】解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及4到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【举一反三】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.【答案】150【解析】【高考风向标】【2015高考上海，理14】在锐角三角形C中，1tan2，D为边C上的点，D与CD的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则DDF�．【答案】1615【解析】由题意得：121s...