第22讲正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,C=π3,S△ABC=2❑√3,则b=()A.❑√3B.2C.2❑√3D.42.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形()A.无解B.有两个解C.有一个解D.解的个数不确定3.[2018·北京石景山区一模]在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2❑√3,则△ABC的面积为()A.4❑√3B.4C.2❑√3D.2❑√24.[2018·北京丰台区一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,则cosC=.5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2A+cos2B+2sinAsinB=1+cos2C,则角C=.6.[2018·承德模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=❑√6,cosC=23,则a=()A.3B.4C.5D.67.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=❑√3,那么△ABC外接圆的半径为()A.2B.4C.❑√2D.18.[2018·南昌质检]在△ABC中,tanA是以-2为第3项,6为第7项的等差数列的公差;tanB是以19为第2项,27为第7项的等比数列的公比.则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对9.[2018·咸阳二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,a=2❑√2,则△ABC面积的最大值为()A.❑√2B.2❑√3C.❑√6D.❑√310.[2018·合肥三模]若△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin(C-A)=12sinB,b=4,则c2-a2=()A.10B.8C.7D.411.[2018·石家庄质检]如图K22-1所示,平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部,AB=1,BC=❑√2,AC=CD,AC⊥CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为.图K22-1图K22-212.[2018·北京朝阳区期末]如图K22-2所示,一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为α和90°-α.后退lm至点P2处再观测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C,P1,P2三点在同一条水平线上,则塔CB的高为m;旗杆BA的高为m.(用含有α的式子表示)13.[2018·唐山二模]如图K22-3所示,在平面四边形ABCD中,AB=2❑√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.图K22-314.[2018·合肥一模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a-2b)cosC+ccosA=0.(1)求C的值;(2)若c=2❑√3,求△ABC的周长的最大值.15.[2018·宁德一检]如图K22-4所示,岛A,C相距10❑√7海里.上午9点整有一艘客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处,客轮沿直线方向匀速开往岛A,在岛A停留10分钟后前往B市.上午9:30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C10❑√3海里的E处,此时小张从岛C乘坐速度为V海里/时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.(1)若V∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?(2)现测得cos∠BAC=-45,sin∠ACB=❑√55.已知速度为V海里/时(V∈(0,30])的小艇每小时的总费用为(12V2+V+50)元,若小张由岛C直接乘小艇去B市,则至少需要多少费用?图K22-4课时作业(二十二)1.D[解析]S△ABC=2❑√3=12absinC=12×2×b×❑√32,解得b=4.故选D.2.B[解析] asinA=bsinB,∴sinB=basinA=2418sin45°,∴sinB=2❑√23.又aA=45°,∴B有两个值,即三角形有两个解.3.C[解析] △ABC中,A=60°,AC=4,BC=2❑√3,由正弦定理得BCsinA=ACsinB,∴2❑√3sin60°=4sinB,解得sinB=1,∴B=90°,C=30°,∴△ABC的面积为12×2❑√3×4×sin30°=2❑√3,故选C.4.-14[解析]在△ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,故3a=2b,∴b=3,则cosC=a2+b2-c22ab=-14.5.60°[解析]由已知得1-2sin2A+1-2sin2B+2sinAsinB=1+1-2sin2C,由正弦定理得ab=a2+b2-c2,所以cosC=a2+b2-c22ab=12,所以C=60°.6.A[解析]由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab,即23=a2+1-62a,整理可得(a-3)(3a+5)=0,结合a>0可得a=3.7.D[解析]因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.又a=❑√3,由正弦定理可得△ABC的外接圆半径R=12×asinA=12×❑√3❑√32=1,故选D.8.B[解析]设题中等差数列为{an},则a3=-2,a7=6,可得公差d=2,即tanA=2;设题中等比数列为{bn},则b2=19,b7=27,可得公比q=3,即tanB=3.故tanC=-tan(A+B)=1,所以A,B,C都是锐角.故选B.9.B[解析]在△ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,即8=b2+c2-2bccos...
