代数-数列有一群儿童，他们的年龄之和50岁，其中最大的13岁，有一个是10岁；除去这个10岁儿童之外，其余儿童的年龄都是整数且恰好组成一个等差数列．问有几个儿童？每个儿童是几岁？【题说】1956年北京、天津市赛二试题1．【解】设除去10岁的那个儿童外，他们的岁数为a，a+d，a+2d，…，a+nd且a+nd=13．于是a+（a+d）+（a+2d）+…+（a+nd）亦即（n+1）（2a+nd）=80或（n+1）（a+13）=80可见，（n+1）|80．但a+13＞13，又a+13＜2×13=26，故3＜n+1＜6．当n+1=4时，由4（a+13）=80，得a=7，从而d=2，共5个儿童，岁数为7，9，10，11，13．是不可能的，于是解是唯一的．B6-002在公比大于1的等比数列中，最多有几项是在100和1000之间的整数．【题说】第四届（1972年）加拿大数学奥林匹克题10．【解】考虑等比数列（100≤）a＜ar＜ar2＜…＜arn-1（≤1000）其中r＞1是公比，a为首项，各项都是整数．因此r为有理数．设r=p/q，（p，q）=1，p＞q．因为arn-1=a（p/q）n-1是整数，所以qn-1整除a．如果q≥3，则有而有n≤5．如果q=1，则而有n≤4．如果q=2，则用心爱心专心432，648，972在100与1000之间．B6-003若实数a1，a2，a3，a4满足求证：a1，a2，a3成等比数列，且公比为a4．【题说】1978年上海市赛二试题5．看成关于a4的二次方程，则判别式因为判别式为0，方程两根相等，由韦达定理即a4是等比数列a1，a2，a3的公比．B6-004如果1、x、y三个正数，既依次是一个等差数列的第l项、第m项、第n项，又依次是一个等比数列的第l项、第m项、第n项，试确定x、y应满足的关系式．【题说】1983年上海市赛一试题1（6）．【解】设该等差数列的公差为d．若d≠0，则又设该等比数列的公比为q，则q≠1，且有若d=0，则x=y=1．此时仍有xy-1=yx-1．
