山东省济宁市高考数学专题复习 第6讲 函数的奇偶性与周期性练习 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第三节函数的奇偶性与周期性[考情展望]1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力．一、奇(偶)函数的定义及图象特征1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)；(2)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．2．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．1．奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．2．奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.二、周期性1．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－B.C.D．－【解析】依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝，则a＋b＝.【答案】B2．下列函数为偶函数的是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝ln【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．【答案】D3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】 f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(8)＝f(0)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.【答案】B4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.【解析】因为y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a由题意可知1－a＝0，即a＝1.【答案】15．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝()A．2B．1C．0D．－2【解析】利用奇函数的性质f(－x)＝－f(x)求解．当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2. f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】D6．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|【解析】A项，y＝是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.【答案】C考向一[016]函数奇偶性的判断判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝.【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．【尝试解答】(1)由得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又 f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．规律方法11.本例第1题，若盲目化简：fx＝＝将扩大函数的定义域，作出错误判断.第2题易忽视定义域无从入手.2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f－x与fx的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.考向二[017]函数奇偶性的应用(1)设函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________．(2)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．(3)设...