1.6三角函数模型的简单应用主动成长夯基达标1.如图1-6-6所示是函数y=Asin(ωx+φ)+k在一个周期内的图象,那么这个函数的解析式应为()图1-6-6A.y=2sin(+)-1B.y=2sin(2x+)-1C.y=3sin(2x+)-1D.y=3sin(2x+)-1解析:A==3,k==-1,T=π+=π.∴ω==2.∴y=3sin(2x+φ)-1.当x=时,2x+φ=π,∴φ=.∴y=3sin(2x+)-1.答案:C2.若f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图1-6-7所示,则ω和φ的取值是…()图1-6-7A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-C.ω=,φ=D.ω=,φ=-解析:=-(-)=π,∴T=4π,A=1.又T=,∴ω=.∴y=sin(x+φ).∴0=sin(-+φ)=0.∴-+φ=kπ.由图知k=0,∴φ=.故选C.答案:C3.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:T03691215182124Y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A.y=12+3sint,t∈［0,24］B.y=12+3sin(t+π),t∈［0,24］C.y=12+3sint,t∈［0,24］D.y=12+3sin(t+),t∈［0,24］解析:根据时间t与水深的关系,画出y=f(x)的图象.A==3,k==12,T=12,ω==.∴y=3sint+12,t∈［0,24］.答案:A4.函数y=f(x)的图象如图1-6-8所示,则y=f(x)的解析式为()图1-6-8A.y=sin2x-2B.y=2cos3x-1C.y=sin(2x-)-1D.y=1-sin(2x-)解析:A==1,b==1,.∴T=π,ω===2.∴y=sin(2x+φ)+1,x=,2x+φ=-π.∴φ=-π-.∴y=sin(2x-π-)+1=-sin(π-2x+)+1=sin(-2x+)+1=-sin(2x-)+1.答案:D5.方程sin(x+)=在［0,π］上有两个解,求实数m的取值范围.解:此方程对应的图象如图所示,可知y1=sin(x+),y2=在同一坐标系中有两个不同的交点,应满足＜1,即≤m＜2.6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,x∈R)在一个周期内的图象如图1-6-9所示,求直线y=3与函数f(x)图象的所有交点的坐标.图1-6-9解:根据图象得A=2,T=-(-)=4π,ω=,∴y=2sin(+φ).又由图象可得相位移为-,∴=-,φ=,即y=2sin(x+).根据条件得=2sin(x+),∴sin(x+)=,+=kπ+(-1)karcsin(k∈Z),x=2kπ+(-1)k-(k∈Z).∴所有交点的坐标为(2kπ+(-1)k-,3)(k∈Z).7.函数f1(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的一段图象过点(0,1),如图1-6-10所示.(1)求函数f1(x)的表达式;(2)将函数y=f1(x)的图象向右平移个单位,得函数y=f2(x)的图象,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的集合.图1-6-10解:(1)由图知,T=π,于是ω==2.将y=Asin2x的图象向左平移,得y=Asin(2x+φ)的图象.于是φ=2·=.将(0,1)代入y=Asin(2x+),得A=2.故f1(x)=2sin(2x+).(2)依题意,f2(x)=2sin［2(x-)+］=-2cos(2x+),当2x+=2kπ+π,即x=kπ+(k∈Z)时,ymax=2.x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.8.一根长为lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos(t+),(t∈［0,+∞).(1)求小球摆动的周期;(2)已知g≈980cm/s2,要使小球摆动的周期是1s,线的长度l应当是多少?(精确到0.1cm)解:(1)小球摆动的周期T==2π(s).(2)∵T=2π,g≈980,T=1,∴2π=1.∴l=≈24.8(cm).故小球摆动的周期为2πs,要使小球摆动周期为1s,则线的长度应为24.8cm.走近高考9.(2005天津高考)函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜,x∈R)的部分图象如图1-6-11所示,则函数表达式为()图1-6-11A.y=-4sin(x+)B.y=4sin(x-)C.y=-4sin(x-)D.y=4sin(x+)解析:由图象可以看出,A=4,=6+2,∴T=16.则ω=,将点(-2,0)代入y=4sin(x+φ)中sin(-+φ)=0.∴-+φ=π,φ=.∴y=4sin(x+).又∵|φ|＜,∴函数表达式为y=4sin(π+x+)=-4sin(x+).答案:A10.(2006安徽高考)将函数y=sinωx(ω＞0)的图象向左平移个单位,平移后的图象如图1-6-12所示,则平移后的图象所对应的函数解析式是()图1-6-12A.y=sin(x+)B.y=sin(x-)C.y=sin(2x+)D.y=sin(2x-)解析:函数y=sinωx(ω＞0)的图象向左平移个单位,平移后的解析式为y=sinω(x+)=sin(ωx+),当x=时,函数取最小值-1,即sin(+)=-1.∴sin=-1.∴ω可取2,即函数解析式为y=sin(2x+).故应选C.答案:C
