高优指导高考数学一轮复习 大题专项练4 高考中的立体几何 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

高考大题专项练4高考中的立体几何高考大题专项练第8页1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⫋平面AEC,PB⊈平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解:V=PA·AB·AD=AB,由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H,由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.又AH=,所以A到平面PBC的距离为.导学号〚32470876〛2.如图,四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;(3)求点D到平面PAM的距离.(1)证明:(方法一)取AD中点O,连接OP,OC,AC,依题意,可知△PAD,△ACD均为正三角形,所以OC⊥AD,OP⊥AD,又OC∩OP=O,OC⫋平面POC,OP⫋平面POC,所以AD⊥平面POC,又PC⫋平面POC,所以PC⊥AD.(方法二)连接AC,依题意,可知△PAD,△ACD均为正三角形,又M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC,又AM∩DM=M,AM⫋平面AMD,DM⫋平面AMD,所以PC⊥平面AMD,又AD⫋平面AMD,所以PC⊥AD.(2)证明:当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:取棱PB的中点Q,连接QM,QA,又M为PC的中点,所以QM∥BC,在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD,所以A,Q,M,D四点共面.(3)解:点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⫋平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.在Rt△POC中,PO=OC=,PC=,在△PAC中,PA=AC=2,PC=,边PC上的高AM=,所以△PAC的面积S△PAC=PC·AM=,设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得S△PAC·h=S△ACD·PO,又S△ACD=×22=,所以·h=,解得h=,所以点D到平面PAM的距离为.导学号〚32470877〛3.如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.证明:(1)取CE的中点F,连接DF. CE⊥平面ABC,∴CE⊥BC. BD∥CE,BD=CE=CF=FE,∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.又BA=BC=DF,∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA.(2)取AC中点N,连接MN,NB, M是EA的中点,∴MN􀱀CE.由BD􀱀CE,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN. DE=DA,M是EA的中点,∴DM⊥EA.又EA∩MN=M,∴DM⊥平面ECA,而DM⫋平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.导学号〚32470878〛4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊈平面ABC,AB⫋平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⫋平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⫋平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⫋平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⫋平面SAB,所以BC⊥SA.导学号〚32470879〛5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,BD⊥PC,E是PA的中点.(1)求证:平面PAC⊥平面EBD;(2)若PA=AB=AC=2,求三棱锥P-EBD的体积.(1)证明: PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又BD⊥PC,PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC, BD⫋平面EBD,∴平面PAC⊥平面EBD.(2)解:由(1)可知BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴S△ABD=BD·OA=×2×1=.∴VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD=×2-×1=.导学号〚32470880〛6.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,PA=2.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)求三棱锥E-PAC的体积.(1)证明:取AD中点F,连接EF,CF,∴在△PAD中,EF是中位线,可得EF∥PA. EF⊈平面PAB,PA⫋平面PAB,∴EF∥平面PAB. Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴AC==2.又 Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴AD=4,结合F为AD的中点,得△ACF是等边三角形,∴∠ACF=∠BAC=60°,可得CF∥AB. CF⊈平面PAB,AB⫋平面PAB,∴CF∥平面PAB. EF,CF是平面CEF内的相交直线,∴平面CEF∥平面PAB. CE⫋平面CEF,∴CE∥平面PAB.(2)解: PA⊥平面ABCD,CD⫋平面...