课时分层作业(十七)空间向量基本定理空间向量的坐标表示(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．[解析]由{a，b，c}是空间的一个基底知，a，b，c不共面．由空间向量基本定理得x＝y＝z＝0.[答案]x＝y＝z＝02．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.[解析]b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．[答案](2，－4,2)3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的________条件．[解析]设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，显然有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性．[答案]充分不必要4．若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则向量a，b，c中与m，n可以构成空间向量另一个基底的向量是________.【导学号：71392170】[解析]显然a或b均与m，n共面，c与m，n不共面，故为c.[答案]c5．如图3121所示，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，则x＝_________，y＝________.图3121[解析] AE＝OE－OA＝OC－OA＝(OD＋DC)－OA＝OD＋AB－OA＝OD＋(OB－OA)－OA＝OD＋OB－OA，∴x＝，y＝－.[答案]－6．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.[解析] a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又 a∥b，显然y≠0，∴＝＝，∴x＝，y＝－.[答案]－7．如图3122在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标．AM＝________，OB1＝________.图3122[解析] A(2,0,0)，M(0,0,1)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，∴AM＝(－2,0,1)，OB1＝(1,1,2)．[答案](－2,0,1)(1,1,2)8．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA，OB，OC表示向量OG为________.【导学号：71392171】图3123[解析]OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋(OB＋OC)－OA＝OA＋OB＋OC.[答案]OA＋OB＋OC二、解答题9．如图3124所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．图3124(1)化简：A1O－AB－AD；(2)设E是棱DD1上的点且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x，y，z的值．[解](1) AB＋AD＝AC，∴A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AC＝A1O－AO＝A1A.(2) EO＝ED＋DO＝D1D＋DB＝D1D＋(DA＋AB)＝A1A＋DA＋AB＝AB－AD－AA1.即x＝，y＝－，z＝－.10．如图3125，在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B?【导学号：71392172】图3125[解]以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)． E为BC的中点，∴E(2,4,0)．∴A1B＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，BD1＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP＝λBD1，则EP＝EB＋BP＝EB＋λBD1. EB＝(2,0,0)，λBD1＝(－4λ，－4λ，3λ)，∴EP＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE∥A1B，得EP∥A1B，∴∴λ＝.此时点P为BD1的中点．故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.[能力提升练]1．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量均不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是________．[解析]①错误，当a，b共线时，才可与任何向量不能构成空间向量的一组基底；②由于OA，OB，OC不构成空间的一个基底，故OA，OB，OC共面，即O，A，B，C四点共面，即②正确；③如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a＋b＝AC，a－b＝DB，显然AC，DB，AA1不共面，也是基底，③正确．[答案]②③2．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则C点坐标为________．[解析]设C点坐标为(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)． AB＝(－2，－6，－2)，∴...
