考点规范练33基本不等式及其应用考点规范练A册第22页基础巩固组1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4答案:C解析: x<0,∴f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.2.(2015郑州模拟)设a>0,b>0.若a+b=1,则的最小值是()A.2B.C.4D.8答案:C解析:由题意=2+≥2+2=4,当且仅当,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.3.(2015浙江金华十校模拟)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.B.C.2D.答案:C解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时,等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.5.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案:C解析:设底面矩形的长和宽分别为am,bm,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.6.(2015西安一中模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.答案:C解析:由ax=by=3,.又a>1,b>1,所以ab≤=3,所以lg(ab)≤lg3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.7.已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.D.2导学号〚92950823〛答案:B解析:约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=2,则b=2-2a,所以a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=5+4,即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.8.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.答案:36解析:由基本不等式可得4x+≥2=4,当且仅当4x=即x=时等号成立,∴=3,即a=36.9.函数y=(x>1)的最小值为.答案:2+2解析: x>1,∴x-1>0.∴y====x-1++2≥2+2=2+2.当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.10.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是.导学号〚92950824〛答案:乙解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a.由于(1+p%)(1+q%)<=,故提价多的是方案乙.11.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.证明:因为a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时,等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时,等号成立.能力提升组12.(2015江西三县部分高中一模)已知不等式<0的解集为{x|a0,则的最小值为()A.4B.8C.9D.12导学号〚92950825〛答案:C解析:不等式<0(⇔x+2)(x+1)<0,解得-20,∴=(2m+n)=5+≥5+2×2×=9,当且仅当m=n=时取等号.∴的最小值为9.13.(2015安徽宿州模拟)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24导学号〚92950826〛答案:B解析:因为a>0,b>0,不等式恒成立,所以m≤.因为(a+3b)=6+≥6+2=12,当且仅当a=3b时取等号.所以m的最大值为12.故选B.14.(2015沈阳四校联考模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则的最小值为.答案:解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示.由z=ax+by(a>0,b>0)得y=-x+,则直线的斜率k=-<0,截距最大时,z也最大.平移直线y=-x+,由图像可知当直线y=-x+经过点A时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,由解得即A(4,6),此时z=4a+6b=6,即+b=1,∴=+2=,当且仅当,即a=b时取等号,此时b=,a=时取等号.15.(2015南昌模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.答案:6解析:由已知,得xy=9-(x+3y),即27-3(x+3y)=3xy≤(当且仅当x=3y时等号成立),令x+3y=t,则t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y≥6.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件...
