考点十一：导数与函数的单调性【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例1.【2017浙江高考】函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）.【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D．【方法技巧归纳】在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．且导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若大于0且递增，则原函数图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B.D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意；本题选择C选项.【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数，则的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B（二）用导数求不含参数的单调区间例2.【2017全国2卷（文）】设函数.（1）讨论的单调性.【答案】在区间，是减函数，在区间是增函数.【解析】（1），令得，解得，，所以在区间，是减函数，在区间是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“”.【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数的单调性，并证明当时，【答案】在上单调递增，在上单调递减.（三）用导数求含参函数的单调区间例3.【2017全国1卷（理）】已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由于，故.当时，，．从而恒成立．在上单调递减.当时，令，从而，得．极小值综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数的定义域；②求导数；③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2.求函数的单调区间方法二：①确定函数的定义域；②求导数，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；试题解析：（Ⅰ）（Ⅰ）设，则当时，；当时，.所以f（x）在单调递减，在单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.【解析】（Ⅰ）由，可得，其...
