第1讲平面向量的概念及线性运算1．下列各式中不能化简为PQ的是()A.AB＋(PA＋BQ)B．(AB＋PC)＋(BA－QC)C.QC－QP＋CQD.PA＋AB－BQ解析：选D.AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ；QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ；PA＋AB－BQ＝PB－BQ，显然由PB－BQ得不出PQ，所以不能化简为PQ的式子是D.2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|a解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．3．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D是△ABC所在平面内一点，AB＝2DC，则()A.BD＝AC－ABB.BD＝AC－ABC.BD＝AC－ABD.BD＝AC－AB解析：选A.BD＝BC＋CD＝BC－DC＝AC－AB－AB＝AC－AB，选A.4．(2019·山东临沂模拟)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：选D.因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC.设AB＝mAC(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.5．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0解析：选D.依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.6．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5＝13；当AB，AC不共线时，3＜|BC|＜13.综上可知3≤|BC|≤13.答案：[3，13]7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b8．(2019·豫西五校联考)若M是△ABC的边BC上的一点，且CM＝3MB，设AM＝λAB＋μAC，则λ的值为________．解析：由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，则＝＝＝，从而＝，又AM＝λAB＋μAC＝AN＋NM＝AB＋AC，所以λ＝.答案：9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得，AB＝OB－OA＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，BC＝OC－OB＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故BC＝－2AB，又BC与AB有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)AC＝AB＋BC＝3a－2b，CD＝2a－kb.因为A、C、D三点共线，所以AC＝λCD，即3a－2b＝2λa－kλb，所以所以综上，k的值为.1．(2019·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是()A.B.C.D.解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.2．(2019·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若AP＝xAB＋yAC，则xy的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使PB＝λBC，所以AB－AP＝λ(AC－AB)，所以AP＝－λAC＋(λ＋1)AB，则，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.3．给出下列四个命题：①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．其中为真命题的有________(填上序号)．解析：由向量的平行四边形法则知道，若a＋b与a－b是共线向...
