(二)立体几何与空间向量1．(2016·课标全国甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B－D′A－C的正弦值．(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.由EF∥AC得＝＝.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.(2)解如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，HD的方向为y轴正方向，HD′的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，AB＝(3，－4,0)，AC＝(6,0,0)，AD′＝(3,1,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则即所以可取m＝(4,3，－5)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则即所以可取n＝(0，－3,1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝－.sin〈m，n〉＝.因此二面角B－D′A－C的正弦值是.2．(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)解连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．故BC＝(－2，－2，0)，BF＝(0，－，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由可得可得平面BCF的一个法向量m＝，因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝.所以二面角F－BC－A的余弦值为.3．(2016·上海)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．(1)求三棱锥C—O1A1B1的体积；(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．解(1)连接O1B1，则＝∠A1O1B1＝，∴△O1A1B1为正三角形，∴＝，∴＝OO1·＝.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B，连接BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角)，BB1＝AA1＝1.连接BC，BO，OC，＝＝，＝，∴＝，∴∠BOC＝，∴△BOC为正三角形，∴BC＝BO＝1，∴tan∠BB1C＝＝1，∴∠BB1C＝45°，∴直线B1C与AA1所成的角的大小为45°.4．(2016·四川)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形．从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE.所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝.在Rt△PAH中，PH＝＝.所以sin∠APH＝＝.方法二由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.由∠PAB＝90°，且PA与CD所成的角为90°，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，...
