(二)立体几何与空间向量1．(2016·课标全国甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B－D′A－C的正弦值．(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4
由EF∥AC得＝＝
所以OH＝1，D′H＝DH＝3
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD
(2)解如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，HD的方向为y轴正方向，HD′的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，AB＝(3，－4,0)，AC＝(6,0,0)，AD′＝(3,1,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则即所以可取m＝(4,3，－5)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则即所以可取n＝(0，－3,1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝－
sin〈m，n〉＝
因此二面角B－D′A－C的正弦值是
2．(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI
在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF
又EF∥OB，所以GI∥OB
在△CFB中，因为H是FB的中点，
