第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e23.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|4.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=15.如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为()A.B.C.D.6.化简:(1)(+)++=;(2)++-=.17.若||=||=|-|=2,则|+|=.8.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则实数λ=.9.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.10.(2018广东惠州调研)已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.B组提升题组1.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,=a,=b,则=()2A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b2.设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为.3.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,其中,x,y∈R,求实数m的值.4.已知点G是△ABC的重心,过G作一条直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,其中x,y∈R,求的值.3答案精解精析A组基础题组1.A设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)=,故选A.2.C由题图可知a-b=e1-3e2.故选C.3.A解法一:由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.解法二:将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故选A.4.D因为A、B、C三点共线,所以∥,设=m(m≠0),所以所以λμ=1,故选D.5.B因为=,所以=m+=m+,又因为N,P,B三点共线,所以m+=1,即m=.故选B.6.答案(1)(2)0解析(1)(+)++=(+)+(+)=+=.(2)++-=+=0.7.答案2解析∵||=||=|-|=2,∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|+|=2.8.答案解析如图所示,过点D分别作AC,BC的平行线,分别交BC,AC于点F,E,所以=+.4因为=2,所以=,=,故=+,所以λ=.9.解析=(+)=a+b.=+=+=+(+)=+(-)=+=a+b.10.证明(1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),∴-=m(-),即=m,∴与共线.又∵与有公共点B,∴A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使=λ,∴-=λ(-).又=m+n,故有m+(n-1)=λ-λ,即(m-λ)+(n+λ-1)=0.5∵O,A,B不共线,∴,不共线,∴∴m+n=1.B组提升题组1.D连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.2.答案解析=+=+=+(+)=-+,∴λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.3.解析由N是OD的中点得=+=+(+)=+.又因为A,N,E三点共线,故=λ,即m+=λ,6所以解得故实数m=.4.解析由已知得M,G,N三点共线,所以=λ+(1-λ)=λx+(1-λ)y,因为点G是△ABC的重心,所以=×(+)=(+),所以即得+=1.即+=3,通分变形得=3,所以=.7
