第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．一、选择题1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(D)A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则cos〈a，a＋b〉＝(C)A．B．－C．D．－解析设|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝.∵|a＋b|＝＝＝，∴cos〈a，a＋b〉＝＝.3．已知向量|OA|＝2，|OB|＝4，OA·OB＝4，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为(A)A．4B．2C．4D．2解析因为cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求的平行四边形的面积为|OA|·|OB|·sin∠AOB＝4，故选A．4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(D)A．－B．－C．D．解析∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝，故选D．5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是(C)A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析因为(AB＋AC)·BC＝0，所以(AB＋AC)·(AC－AB)＝0，所以AC2－AB2＝0，即|AC|＝|AB|，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝，故△ABC是等边三角形．6．(2018·福建厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是(C)A．B．2C．D．6解析由AB·AC＝|AB||AC|cos120°＝－|AB||AC|＝－1，得|AB||AC|＝2，|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2＋AB2－2AB·AC＝AC2＋AB2＋2≥2|AC||AB|＋2＝6，当且仅当|AC|＝|AB|时等号成立．所以|BC|≥，故选C．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__－2__.解析由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a·b＝0，即m＋2＝0，∴m＝－2.8．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为__90°__.解析由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为90°.9．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－5，1]__.解析设P(x，y)，则PA·PB＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－5≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．三、解答题10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解析由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．11．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．解析(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0
b，所以A>B，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝ccosB＝1×＝.12．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA，OB，OC的模分别为2，，4.(1)求|OA＋OB＋OC|；(2)若OC＝mOA＋nOB，求实数m，n的值．解析(1)由已知易知OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝－3，OA·OC＝|OA|·|OC|·cos∠AOC＝－4，OB·OC＝0，∴|OA＋OB＋OC|2＝OA2＋OB2＋OC2＋2(OA·OB＋OA·OC＋OB·OC)＝9，∴|OA＋OB＋OC|＝3.(2)由OC＝mOA＋nOB可得OA·OC＝mOA2＋nOA·OB，且OB·OC＝mOB·OA＋nOB2，∴∴m＝n＝－4.
