第三节平面向量的数量积及应用举例A级·基础过关|固根基|1.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0.故选B．2．(2019届郑州一中高三入学测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于()A．B．C．D．4解析：选C依题意得a·b＝，∴|a＋3b|＝＝，故选C．3．(2019届山东模拟)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C．D．－解析：选B由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝.又4|m|＝3|n|，∴t＝－3×＝－4.故选B．4．(2019届东北联考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为()A．B．C．D．解析：选C因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C．5．(2019届石家庄模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AC·BC＝1，则BC＝()A．B．C．2D．3解析：选D设∠A＝θ，因为BC＝AC－AB，AB＝4，AC＝3，所以AC·BC＝AC·(AC－AB)＝AC2－AC·AB＝9－AC·AB＝1，即AC·AB＝8，所以cosθ＝＝＝，所以BC＝＝3.故选D．6．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1，2]B．[2，4]C．D．解析：选D由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2.因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.故选D．7．(2020届大同调研)在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D，E，使BD＝2DA，AB＝3BE，那么CD·CA＋CE·CA＝()A．－6B．61C．－3D．3解析：选D由BD＝2DA，得CD－CB＝2(CA－CD)，得CD＝CA＋CB.由AB＝3BE，得CB－CA＝3(CE－CB)，得CE＝－CA＋CB.因为∠C＝，即CA⊥CB，所以CA·CB＝0.所以CD·CA＋CE·CA＝·CA＋·CA＝CA2－CA2＝3，故选D．8.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE的值是()A．－B．－C．－D．－解析：选B因为BF＝2FO，r＝1，所以|FO|＝，所以FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝＋0－1＝－，故选B．9．(2019届南宁市摸底联考)已知O是△ABC内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A．B．C．D．解析：选A OA＋OB＋OC＝0，∴O是△ABC的重心，∴S△OBC＝S△ABC． AB·AC＝2，∴|AB|·|AC|·cos∠BAC＝2.又∠BAC＝60°，∴|AB|·|AC|＝4，∴S△ABC＝|AB|·|AC|sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为，故选A．10．(2020届贵阳摸底)已知a，b均为单位向量，若|a－2b|＝，则a与b的夹角为________．解析：由|a－2b|＝，得|a－2b|2＝3，即a2－4a·b＋4b2＝3，即1－4a·b＋4＝3，所以a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝.答案：11．(2019届南昌摸底调研)已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足CB＝CA，若M是线段AB的中点，则OC·OM的值为________．解析：解法一：动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接OA，OB，因为|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y＝(x＋2)，如图所示，根据题意可得B(－2，0)，A(－1，)，因为M是线段AB的中点，所以M.设C(x，y)，因为CB＝CA，所以(－2－x，－y)＝(－1－x，－y)，所以解得所以C，所以OC·OM＝·＝＋＝3.解法二：连接OA，OB，因为直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形．因为CB＝CA，所以OC＝OA＋AC＝OA＋BA＝OA＋OA－OB＝OA－OB.又M为AB的中点，所以OM＝OA＋OB，且OA与OB的夹角为60°，则OC·OM＝·＝OA2－OB2＋|OA||OB|cos60°＝×4－×4＋×2×2×＝3.答案：312.如图，已知O为坐标原点，向量OA＝(3cosx，3sinx)，OB＝(3cosx，sinx)，OC＝(，0)，x∈.(1)求证：(OA－OB)⊥OC；(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．解：(1)证明...
