考点规范练42直线与直线的方程考点规范练B册第28页基础巩固组1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0答案:D解析:由sinα+cosα=0,得=-1,即tanα=-1.又因为tanα=-,所以-=-1.即a=b,故应选D.2.不论m为何值,直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点()A.(1,-1)B.(-2,0)C.(2,3)D.(-2,3)答案:D解析:将方程整理为m(x+2)-(x+y-1)=0,令解得则直线恒过定点(-2,3).3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.B.∪(1,+∞)C.(-∞,1)∪D.(-∞,-1)∪导学号〚92950847〛答案:D解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪.4.一次函数y=-x+的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A.m>1,且n>1B.mn>0C.m>0,且n<0D.m>0,且n>0答案:B解析:因为y=-x+经过第一、二、四象限,所以-<0,>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=0答案:A解析:易知A(-1,0). |PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0). PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.6.函数y=asinx-bcosx的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为()A.45°B.60°C.120°D.135°答案:D解析:令f(x)=y=asinx-bcosx.由函数f(x)=asinx-bcosx的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,则直线l的斜率为-1,故其倾斜角为135°.7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.答案:16解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,又C(-2,-2)在该直线上,故=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.8.一条直线经过点M(2,1),且在两坐标轴上的截距和是6,则该直线的方程为.答案:x+y-3=0或x+2y-4=0解析:由题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为6-a.于是我们可列出此直线的截距式方程为=1,代入点M的坐标(2,1),得到关于a的一元二次方程a2-7a+12=0,解得a=3或a=4,所以直线的方程为=1或=1,化为一般式方程即为x+y-3=0或x+2y-4=0.9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)经过定点P(2,-1);(2)在y轴上的截距为6;(3)与y轴平行;(4)与y轴垂直.解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=,根据题意可知=6,解得m=-或m=0.(3)直线与y轴平行,则有解得m=.(4)直线与y轴垂直,则有解得m=3.导学号〚92950848〛10.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.解: 点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a). 点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).又 点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.∴点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为=1,即x+4y-4=0.能力提升组11.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2B.2C.4D.2导学号〚92950849〛答案:C解析:(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,欲求m2+n2的最小值可先求的最小值.而表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为2.∴m2+n2的最小值为4.(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在Rt△OAB中,OA=,OB=,斜边AB=,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,∴S△OAB=·OA·OB=AB·h,∴h==2,∴m2+n2的最小值为h2=4.12.(2015河北衡水中学高三一调)设直线l与曲线f(x)=x3+2x+1有三个不同的交点A,B,C,且|AB|=|BC|=,则直线l的方程为()A.y=5x+1B.y=4x+1C.y=x+1D.y=3x+1导学号〚92950850〛答...
