高中数学对课本中一道习题的解法探究学法指导VIP免费

高中数学对课本中一道习题的解法探究全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第31页B组题的第6题：设a，b，c为△ABC的三边，求证：abcabbcca2222()有同学的证法如下：∵a，b，c为△ABC的三边，abcbcaacb，，()()()abcbcaacb222222，，相加得：()()()abbcacabc222222即abcabbcca2222()经过分析，不难发现：在三角形中虽然有abcbcaacb，，，但推不出()abc22，()bca22，()acb22正确证法：∵a，b，c为△ABC的三边||||||abcbcaacb，，()abc22，()bca22，()acb22相加得：()()()abbcacabc222222即abcabbcca2222()这种证法能抓住问题的特征，利用三角形中边与边之间的关系，结合不等式的性质，巧妙地给出了证明。通过总结，我们也可用其他方法来证这道题。方法1–––求差比较法：abcabbcca2222()aabbcacacbcbabc222222222222()()()abcacbabc222222()()()abccabcba222222()()()()()()abcabccabcabcbacba①又∵a，b，c为△ABC的三边abcabccabcabcba00000，，，，cba0因此，①式小于零abcabbcca2222()方法2–––综合法∵a，b，c为△ABC的三边，abc000，，且abcacbbca，，即abcabacbcabc()()()222，，又2()abbccaabacbcbabcacabcbaccababc()()()222abcabbcca2222()方法3–––放缩法在△ABC中，由余弦定理知：用心爱心专心abcabCab22222cosbcabcAbc22222coscabcaBca22222cos三个不等式相加得：abcabbcca2222()方法4–––构造法不妨设bc，构造关于a的一元二次函数：faabcabbccaabcabcbc()()()222222222其中，bcabc函数fa()的对称轴为abcbc022()，且图像开口向上函数faabcabcbc()()22222，在abcbc()，时单调递减，故fafbc()()。而fbcbcbcbcbcbcccb()()()()()2222240即faabcabbcca()()020222，abcabbcca2222()小结：本题是条件不等式的证明，如何利用条件是解决此类问题的关键。选择什么样的方法，要依据不同的思维、不同的突破口，结合证明不等式的不同方法，而灵活选用。对此类问题进行多种角度、多种方法的解答，能够锻炼同学们的思维，拓宽同学们的视野，从而激发同学们的学习兴趣，并且能够培养同学们的创新能力。用心爱心专心